Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2016 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Sea

r

la recta dada por

\begin{cases} x+z = 1 \\ y = -1\end{cases}

y sea

s

la recta definida por

\begin{cases} x = 2+\lambda \\ y = 2 \\ z = 2+2\lambda\end{cases}

a) [1,75 puntos] Comprueba que las rectas

r

s

se cruzan y halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a

r

y a

s

.

b) [0,75 puntos] Calcula la distancia entre

r

s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: (t,-1,1-t), \ \vec{u} = (1,0,-1); \qquad s: (2+\lambda,2,2+2\lambda), \ \vec{v} = (1,0,2)\;}

\boxed{\;\vec{u}\times\vec{v} = (0,-3,0) \neq \vec{0} \ \text{ y } \ \bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr] = -9 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{se cruzan}\;}

\boxed{\;P(1,-1,0), \ Q(1,2,0): \quad \text{perpendicular común } \{x=1,\; z=0\}\;}

\boxed{\;d(r,s) = \lVert\vec{PQ}\rVert = \frac{\lvert -9\rvert}{3} = 3\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Perpendicular común entre dos rectas que se cruzan. El método más limpio:

Escribir $r$ en paramétricas y sacar los dos directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ .
Comprobar que se cruzan: $\vec{u}\not\parallel\vec{v}$ y $\bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr]\neq 0$ .
La perpendicular común tiene dirección $\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v}$ . Se toma un punto genérico $P$ de $r$ y otro $Q$ de $s$ y se impone que $\vec{PQ}$ sea paralelo a $\vec{w}$ . Salen dos ecuaciones con dos parámetros.
La distancia es entonces $\lvert\vec{PQ}\rvert$ (o, más rápido, la fórmula del producto mixto).

Desarrollo

La recta $r$ en paramétricas. De

y=-1

x+z=1

, tomando

x = t

r: \; (t,\; -1,\; 1-t) \qquad A(0,-1,1), \quad \vec{u} = (1,\, 0,\, -1)

La recta $s$ .

s: \; (2+\lambda,\; 2,\; 2+2\lambda) \qquad B(2,2,2), \quad \vec{v} = (1,\, 0,\, 2)

a) ¿Se cruzan?

No son paralelas:

(1,0,-1)

(1,0,2)

no son proporcionales.

\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2\end{array}\right| = \bigl(0,\; -3,\; 0\bigr) \neq \vec{0}

No se cortan: con

\vec{AB} = (2,3,1)

\bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr] = \vec{AB}\cdot\vec{w} = (2)(0)+(3)(-3)+(1)(0) = -9 \neq 0

\textbf{Las rectas se cruzan}

La perpendicular común. Su dirección es

\vec{w} = (0,-3,0)

, es decir,

(0,1,0)

.

Punto genérico de cada recta:

P(t) = (t,\, -1,\, 1-t) \qquad Q(\lambda) = (2+\lambda,\, 2,\, 2+2\lambda)

\vec{PQ} = \bigl(2+\lambda-t,\; 3,\; 1+2\lambda+t\bigr)

Para que

\vec{PQ}

sea paralelo a

(0,1,0)

, sus componentes primera y tercera deben anularse:

\begin{cases} 2+\lambda-t = 0 \\ 1+2\lambda+t = 0\end{cases}

Sumando:

3 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1

, y entonces

t = 2+\lambda = 1

P = (1,\, -1,\, 0) \qquad Q = (1,\, 2,\, 0) \qquad \vec{PQ} = (0,\,3,\,0) \;\checkmark

La recta perpendicular común, por

P

con dirección

(0,1,0)

\begin{cases} x = 1 \\ y = -1+\mu \\ z = 0\end{cases} \qquad \text{o bien} \qquad \begin{cases} x = 1 \\ z = 0\end{cases}

b) La distancia. Es la longitud del segmento

\overline{PQ}

d(r,s) = \lVert\vec{PQ}\rVert = \sqrt{0+9+0} = 3

Comprobación con la fórmula del producto mixto.

d(r,s) = \frac{\bigl\lvert\bigl[\vec{AB},\vec{u},\vec{v}\bigr]\bigr\rvert}{\lVert\vec{u}\times\vec{v}\rVert} = \frac{\lvert -9\rvert}{\lVert(0,-3,0)\rVert} = \frac{9}{3} = 3 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Se cruzan" exige dos comprobaciones: que no sean paralelas ( $\vec{u}\times\vec{v}\neq\vec0$ ) y que no se corten (producto mixto $\neq 0$ ). Con una sola no basta.

Para la perpendicular común, imponer $\vec{PQ}\parallel\vec{u}\times\vec{v}$ es más corto que plantear $\vec{PQ}\cdot\vec{u} = 0$ y $\vec{PQ}\cdot\vec{v} = 0$ , y aquí además el vector sale con dos ceros, así que las ecuaciones son inmediatas.

La distancia debe coincidir con $\lVert\vec{PQ}\rVert$ y con la fórmula del producto mixto. Calcularla por los dos caminos es la mejor comprobación que existe en este tipo de problema.