Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2018 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(2,-1,-2)

B(-1,-1,2)

, y la recta

r

dada por

x - 1 = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-1}{2}

a) [1 punto] Determina los puntos del segmento

AB

que lo dividen en

3

segmentos de la misma longitud.

b) [1,5 puntos] Determina un punto

C

r

de forma que el triángulo

ABC

sea rectángulo en

C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \vec{AB} = (-3,0,4); \qquad P_{1} = \left(1,\, -1,\, -\tfrac23\right), \quad P_{2} = \left(0,\, -1,\, \tfrac23\right)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad C(t) = (1+t,\, 1-t,\, 1+2t); \qquad \vec{CA}\cdot\vec{CB} = 6t^{2} + t - 1 = 0\;}

\boxed{\;C_{1} = \left(\tfrac43,\, \tfrac23,\, \tfrac53\right) \qquad \text{y} \qquad C_{2} = \left(\tfrac12,\, \tfrac32,\, 0\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) no hacen falta distancias: dividir un segmento en tres partes iguales es avanzar un tercio y dos tercios del vector

\vec{AB}

desde

A

P_{1} = A + \frac13\vec{AB}, \qquad P_{2} = A + \frac23\vec{AB}

En b), "rectángulo en $C$ " significa que el ángulo recto está en ese vértice, es decir

\vec{CA}\perp\vec{CB} \;\Longleftrightarrow\; \vec{CA}\cdot\vec{CB} = 0

Parametrizando

C

sobre la recta, esa condición da una ecuación de segundo grado en

t

(cada vector depende de

t

, así que su producto escalar lleva

t^{2}

): puede haber dos soluciones, y aquí las hay.

Desarrollo

a) Puntos de trisección.

\vec{AB} = B - A = (-1-2,\; -1+1,\; 2+2) = (-3,\, 0,\, 4)

P_{1} = A + \frac13\vec{AB} = \left(2 - 1,\; -1 + 0,\; -2 + \frac43\right) = \left(1,\; -1,\; -\frac{2}{3}\right)

P_{2} = A + \frac23\vec{AB} = \left(2 - 2,\; -1 + 0,\; -2 + \frac83\right) = \left(0,\; -1,\; \frac{2}{3}\right)

(Comprobación: $P_{2}$ es el punto medio de $P_{1}$ y $B$ , y $P_{1}$ el de $A$ y $P_{2}$ $\checkmark$ )

b) El punto $C$ . La recta tiene

R(1,1,1)

\vec{u} = (1,-1,2)

C(t) = \bigl(1 + t,\; 1 - t,\; 1 + 2t\bigr)

Los dos vectores desde $C$ .

\vec{CA} = A - C = \bigl(1 - t,\; -2 + t,\; -3 - 2t\bigr)

\vec{CB} = B - C = \bigl(-2 - t,\; -2 + t,\; 1 - 2t\bigr)

Condición de ángulo recto.

\vec{CA}\cdot\vec{CB} = (1-t)(-2-t) + (-2+t)^{2} + (-3-2t)(1-2t)

Desarrollando término a término:

(1-t)(-2-t) = -2 - t + 2t + t^{2} = t^{2} + t - 2

(-2+t)^{2} = t^{2} - 4t + 4

(-3-2t)(1-2t) = -3 + 6t - 2t + 4t^{2} = 4t^{2} + 4t - 3

\vec{CA}\cdot\vec{CB} = 6t^{2} + t - 1 = 0

Resolviendo.

t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{12} = \frac{-1 \pm 5}{12} \;\Longrightarrow\; t = \frac{1}{3} \quad \text{o} \quad t = -\frac{1}{2}

Los dos puntos.

t = \frac13: \quad C_{1} = \left(\frac43,\; \frac23,\; \frac53\right)

t = -\frac12: \quad C_{2} = \left(\frac12,\; \frac32,\; 0\right)

Comprobación con $C_{2}$ :

\;\vec{CA} = \left(\tfrac32, -\tfrac52, -2\right)

\vec{CB} = \left(-\tfrac32, -\tfrac52, 2\right)

, cuyo producto escalar es

-\tfrac94 + \tfrac{25}{4} - 4 = \tfrac{16}{4} - 4 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) no hay que calcular ninguna distancia: los puntos de trisección son $A + \tfrac13\vec{AB}$ y $A + \tfrac23\vec{AB}$ . Es la misma idea del punto medio, con fracciones distintas.

"Rectángulo en $C$ " fija el vértice del ángulo recto: los vectores que hay que hacer perpendiculares son $\vec{CA}$ y $\vec{CB}$ , ambos saliendo de $C$ . Si el enunciado dijera "rectángulo en $A$ ", serían $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ , y la ecuación sería lineal.

Precisamente por eso aquí la ecuación es de segundo grado y hay dos soluciones (los puntos desde los que se "ve" el segmento $AB$ bajo un ángulo recto, sobre la recta). Dar solo una deja el ejercicio a medias.