Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2010 · Reserva 1 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano

6x+3y+2z = 6

con los ejes de coordenadas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{Ejes}: \ A(1,0,0), \quad B(0,2,0), \quad C(0,0,3)\;}

\boxed{\;\vec{AB} = (-1,2,0), \qquad \vec{AC} = (-1,0,3)\;}

\boxed{\;\vec{AB}\times\vec{AC} = (6,3,2) \quad \text{(paralelo al normal del plano)}\;}

\boxed{\;\text{Área} = \frac{\bigl|(6,3,2)\bigr|}{2} = \frac{\sqrt{49}}{2} = \frac72 = 3{,}5 \ \text{u}^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos pasos muy cortos:

Los vértices. Cada eje se obtiene anulando las otras dos coordenadas:

- eje

OX

y = z = 0

,
- eje

OY

x = z = 0

,
- eje

OZ

x = y = 0

El área, con el producto vectorial:

\text{Área} = \frac12\bigl|\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr|

(Atajo alternativo: dividiendo la ecuación entre $6$ queda la ecuación segmentaria $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3} = 1$ , y los denominadores son directamente los cortes.)

Desarrollo

Los vértices.

Eje $OX$ (

y = z = 0

\;6x = 6 \Rightarrow x = 1

A(1,\,0,\,0)

Eje $OY$ (

x = z = 0

\;3y = 6 \Rightarrow y = 2

B(0,\,2,\,0)

Eje $OZ$ (

x = y = 0

\;2z = 6 \Rightarrow z = 3

C(0,\,0,\,3)

(Coincide con la forma segmentaria $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3} = 1$ $\checkmark$ )

Los vectores del triángulo.

\vec{AB} = B-A = (-1,\; 2,\; 0) \qquad \vec{AC} = C-A = (-1,\; 0,\; 3)

El producto vectorial.

\vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right|

\vec i: (2)(3)-(0)(0) = 6 \qquad \vec j: -\bigl[(-1)(3)-(0)(-1)\bigr] = 3 \qquad \vec k: (-1)(0)-(2)(-1) = 2

\vec{AB}\times\vec{AC} = (6,\; 3,\; 2)

(Obsérvese que es proporcional al normal del plano $(6,3,2)$ : tiene que serlo, porque el triángulo está contenido en él.)

El módulo y el área.

\bigl|\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr| = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7

\text{Área} = \frac{7}{2} = 3{,}5 \ \text{u}^{2}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los cortes con los ejes salen de anular las otras dos coordenadas, no una sola. El eje $OX$ es $\{y = 0,\ z = 0\}$ .

La forma segmentaria $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} = 1$ regala los tres cortes: $(a,0,0)$ , $(0,b,0)$ , $(0,0,c)$ . Aquí, dividiendo entre $6$ , salen $1$ , $2$ y $3$ .

Control de calidad: el producto vectorial de dos lados del triángulo debe salir proporcional al vector normal del plano. Si no lo es, hay un error en los vértices.