Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2013 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(0,5,3)

B(-1,4,3)

C(1,2,1)

D(2,3,1)

.

a) [1,75 puntos] Comprueba que los cuatro puntos son coplanarios y que

ABCD

es un rectángulo.

b) [0,75 puntos] Calcula el área de dicho rectángulo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{AB} = (-1,-1,0), \quad \vec{AC} = (1,-3,-2), \quad \vec{AD} = (2,-2,-2)\;}

\boxed{\;\bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{coplanarios}\;}

\boxed{\;\vec{DC} = (-1,-1,0) = \vec{AB} \ (\text{paralelogramo}) \ \text{ y } \ \vec{AB}\cdot\vec{AD} = 0 \ (\text{recto})\;}

\boxed{\;\text{Área} = \lVert\vec{AB}\rVert\cdot\lVert\vec{AD}\rVert = \sqrt2\cdot2\sqrt3 = 2\sqrt6 \approx 4{,}90\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres comprobaciones encadenadas, cada una con su herramienta:

Coplanarios: producto mixto $\bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = 0$ .
Paralelogramo: $\vec{AB} = \vec{DC}$ (lados opuestos iguales, con los vértices en orden $A,B,C,D$ ).
Rectángulo: además, dos lados consecutivos perpendiculares: $\vec{AB}\cdot\vec{AD} = 0$ .

Y para el área, al ser rectángulo basta con base por altura:

\lVert\vec{AB}\rVert\cdot\lVert\vec{AD}\rVert

Desarrollo

Los vectores desde $A$ .

\vec{AB} = (-1,\, -1,\, 0) \qquad \vec{AC} = (1,\, -3,\, -2) \qquad \vec{AD} = (2,\, -2,\, -2)

1) Coplanarios.

\bigl[\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}\bigr] = \begin{vmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 1 & -3 & -2 \\ 2 & -2 & -2\end{vmatrix}

Desarrollando por la primera fila:

= -1\,(6-4)+1\,(-2+4)+0 = -2+2 = 0

\textbf{Los cuatro puntos son coplanarios}

2) Es un paralelogramo.

\vec{DC} = C-D = (1-2,\; 2-3,\; 1-1) = (-1,\, -1,\, 0) = \vec{AB} \;\checkmark

(Con los vértices en el orden $A,B,C,D$ , que $\vec{AB} = \vec{DC}$ significa que $\overline{AB}$ y $\overline{DC}$ son lados opuestos, iguales y paralelos.)

3) Es un rectángulo. Lados consecutivos

\overline{AB}

\overline{AD}

\vec{AB}\cdot\vec{AD} = (-1)(2)+(-1)(-2)+(0)(-2) = -2+2+0 = 0 \;\checkmark

\textbf{Es un paralelogramo con un ángulo recto: un rectángulo}

b) El área.

\lVert\vec{AB}\rVert = \sqrt{1+1+0} = \sqrt2 \qquad \lVert\vec{AD}\rVert = \sqrt{4+4+4} = \sqrt{12} = 2\sqrt3

\text{Área} = \lVert\vec{AB}\rVert\cdot\lVert\vec{AD}\rVert = \sqrt2\cdot 2\sqrt3 = 2\sqrt6 \approx 4{,}90 \ \text{u}^{2}

Comprobación con el producto vectorial (válida para cualquier paralelogramo):

\bigl\lVert\vec{AB}\times\vec{AD}\bigr\rVert = 2\sqrt6 \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para que sea rectángulo hay que comprobar las dos cosas: que es paralelogramo ( $\vec{AB} = \vec{DC}$ ) y que tiene un ángulo recto ( $\vec{AB}\cdot\vec{AD} = 0$ ). Con una sola podría ser un romboide o un trapecio.

Cuidado con el orden de los vértices: $ABCD$ recorre el rectángulo, así que $\overline{AB}$ y $\overline{DC}$ son opuestos (de ahí $\vec{AB} = \vec{DC}$ , no $\vec{AB} = \vec{CD}$ ).

La coplanariedad es necesaria pero no suficiente: el producto mixto nulo solo dice que los cuatro puntos están en un plano. Es el primer paso, no la respuesta.