Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Dados los puntos A(2,1,1) y B(0,0,1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C sea 2.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2008 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Dados los puntos

A(2,1,1)

B(0,0,1)

, halla los puntos

C

en el eje $OX$ tales que el área del triángulo de vértices

A

B

C

sea

2

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Resultado

\boxed{\;C(c,0,0); \quad \vec{AB} = (-2,-1,0), \ \vec{AC} = (c-2,-1,-1)\;}

\boxed{\;\vec{AB}\times\vec{AC} = (1,\, -2,\, c)\;}

\boxed{\;\text{Área} = \frac{\sqrt{c^{2}+5}}{2} = 2 \;\Longrightarrow\; c^{2}+5 = 16\;}

\boxed{\;c = \pm\sqrt{11}: \quad C\bigl(\pm\sqrt{11},\,0,\,0\bigr)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los puntos del eje

OX

son de la forma

C(c,\,0,\,0)

: una sola incógnita.

El área del triángulo es

\text{Área} = \frac12\bigl|\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr|

y al imponer que valga

2

aparece una ecuación de segundo grado en

c

: habrá dos soluciones simétricas.

Desarrollo

El punto genérico y los vectores.

C(c,\,0,\,0)

\vec{AB} = B-A = (0-2,\; 0-1,\; 1-1) = (-2,\; -1,\; 0)

\vec{AC} = C-A = (c-2,\; -1,\; -1)

El producto vectorial.

\vec{AB}\times\vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ -2 & -1 & 0 \\ c-2 & -1 & -1\end{array}\right|

\vec i: (-1)(-1)-(0)(-1) = 1

\vec j: -\bigl[(-2)(-1)-(0)(c-2)\bigr] = -2

\vec k: (-2)(-1)-(-1)(c-2) = 2+c-2 = c

\vec{AB}\times\vec{AC} = (1,\, -2,\, c)

El área.

\text{Área} = \frac12\sqrt{1+4+c^{2}} = \frac{\sqrt{c^{2}+5}}{2}

Imponemos que valga $2$ .

\frac{\sqrt{c^{2}+5}}{2} = 2 \;\Longrightarrow\; \sqrt{c^{2}+5} = 4 \;\Longrightarrow\; c^{2}+5 = 16

c^{2} = 11 \;\Longrightarrow\; c = \pm\sqrt{11}

C_{1}\bigl(\sqrt{11},\,0,\,0\bigr) \qquad C_{2}\bigl(-\sqrt{11},\,0,\,0\bigr)

Comprobación con

c = \sqrt{11}

\bigl|\vec{AB}\times\vec{AC}\bigr| = \sqrt{1+4+11} = \sqrt{16} = 4 \;\Longrightarrow\; \text{Área} = \frac42 = 2 \;\checkmark

(Los dos puntos son simétricos respecto del origen. Como comparten la base $AB$ y el área, ambos están a la misma distancia de la recta $AB$ : la altura $h = \frac{2\cdot\text{Área}}{|\vec{AB}|} = \frac{4}{\sqrt5}$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Los puntos del eje $OX$ son $(c,0,0)$ : una sola incógnita. Parametrizar así reduce el problema a una ecuación.

No olvides el $\frac12$ del área del triángulo: $\bigl|\vec u\times\vec v\bigr|$ es el área del paralelogramo. Es el error más frecuente.

Hay dos soluciones ( $c = \pm\sqrt{11}$ ), simétricas respecto del origen. De una ecuación $c^{2} = k$ salen siempre dos valores: darlos los dos es parte de la respuesta.