Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2022 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque B). Considera las rectas

r \equiv \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases} \qquad \text{y} \qquad s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1 \end{cases}

a) [1,5 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a

r

y es paralelo a

s

.

b) [1 punto] Determina la ecuación del plano que contiene a

r

y es perpendicular a

s

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Resultado

\boxed{\;r = \text{eje } OY \;\; (\vec{d}_{r} = (0,1,0)), \qquad s \equiv (1, 0, \lambda) \;\; (\vec{d}_{s} = (0,0,1))\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad \pi_{1} \equiv x = 0 \quad (\text{plano } OYZ)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \pi_{2} \equiv z = 0 \quad (\text{plano } OXY)\;}

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Estrategia

Lo primero es reconocer las dos rectas, porque están escritas de forma implícita pero son rectas muy conocidas:

$r$ : los puntos con $x = 0$ y $z = 0$ son exactamente los del eje $OY$ .
$s$ : resolviendo el sistema, $x = 1$ e $y = 0$ con $z$ libre, es decir, la paralela al eje $OZ$ que pasa por $(1,0,0)$ .

Identificadas, todo se vuelve casi geométrico. Y hay que distinguir con cuidado las dos condiciones:

Plano paralelo a una recta: el plano contiene la dirección de la recta, luego $\vec{n}\cdot\vec{d}_{s} = 0$ .
Plano perpendicular a una recta: la recta es perpendicular al plano, luego $\vec{n}$ es paralelo a $\vec{d}_{s}$ .

Son condiciones opuestas y confundirlas cambia la respuesta por completo.

Desarrollo

Identificación de las rectas.

r: \quad x = 0,\; z = 0 \;\Longrightarrow\; (0,\, t,\, 0) \;\Longrightarrow\; R(0,0,0), \quad \vec{d}_{r} = (0,1,0)

Es el eje $OY$ , que pasa por el origen.

s: \quad \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 1\end{cases} \;\Longrightarrow\; x = 1,\; y = 0 \;\Longrightarrow\; (1,\, 0,\, \lambda) \;\Longrightarrow\; S(1,0,0), \quad \vec{d}_{s} = (0,0,1)

(Sumando y restando las dos ecuaciones: $2x = 2$ y $2y = 0$ .)

a) Plano que contiene a $r$ y es paralelo a $s$ .

El plano debe contener el punto

R(0,0,0)

y la dirección

\vec{d}_{r} = (0,1,0)

; ser paralelo a

s

significa que además contiene la dirección

\vec{d}_{s} = (0,0,1)

\vec{n} = \vec{d}_{r} \times \vec{d}_{s} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right| = (1,\, 0,\, 0)

Plano por el origen con normal

(1,0,0)

\pi_{1} \equiv x = 0

Es el plano $OYZ$ .

(Comprobación: contiene a $r$ , que es el eje $OY$ y está dentro de $x=0$ . Y es paralelo a $s$ : la dirección $(0,0,1)$ cumple $\vec{n}\cdot\vec{d}_{s} = 0$ , y el punto $S(1,0,0)$ no pertenece al plano, porque $1 \neq 0$ , así que $s$ es paralela y no está contenida.)

b) Plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $s$ .

Ahora la recta

s

debe ser perpendicular al plano, es decir, su vector director es el vector normal:

\vec{n} = \vec{d}_{s} = (0, 0, 1)

El plano tiene entonces la forma

z = k

, y como debe contener a

r

(que está en

z = 0

\pi_{2} \equiv z = 0

Es el plano $OXY$ .

(Comprobación: contiene al eje $OY$ ✓, y su normal $(0,0,1)$ es exactamente $\vec{d}_{s}$ , luego $s$ lo atraviesa perpendicularmente ✓. De hecho $s$ corta a $\pi_{2}$ en el punto $(1,0,0)$ .)

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Consejo

"Plano paralelo a una recta" y "plano perpendicular a una recta" son condiciones contrarias sobre el mismo vector: en el primer caso $\vec{n}\cdot\vec{d} = 0$ y en el segundo $\vec{n} \parallel \vec{d}$ . Escríbelo así antes de calcular y no habrá manera de confundirse.

Y dedica treinta segundos a identificar las rectas del enunciado: reconocer que $r$ es el eje $OY$ y $s$ una paralela al eje $OZ$ convierte un ejercicio de cálculo en uno casi visual, y te permite comprobar las dos respuestas sin echar cuentas.