Opción B · Ejercicio 4. Considera el plano \pi de ecuación m\,x+5y+2z = 0 y la recta r dada por \frac{x+1}{3} = \frac{y}{n} = \frac{z-1}{2} a) [1 punto] Calcula m y n en el caso en el que la recta r es perpendicular al plano \pi. b) [1,5 puntos] Calcula m y n en el caso en el que la recta r está contenida en el plano \pi.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2015 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el plano

\pi

de ecuación

m\,x+5y+2z = 0

y la recta

r

dada por

\frac{x+1}{3} = \frac{y}{n} = \frac{z-1}{2}

a) [1 punto] Calcula

m

n

en el caso en el que la recta

r

es perpendicular al plano

\pi

.

b) [1,5 puntos] Calcula

m

n

en el caso en el que la recta

r

está contenida en el plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec{u} = (3,\,n,\,2), \qquad \vec{n} = (m,\,5,\,2), \qquad P(-1,0,1)\in r\;}

\boxed{\;\text{a) } \frac3m = \frac n5 = \frac22 = 1 \;\Longrightarrow\; m = 3, \ n = 5\;}

\boxed{\;\text{b) } P\in\pi: \ -m+2 = 0 \Rightarrow m = 2; \quad \vec{u}\cdot\vec{n} = 3m+5n+4 = 0 \Rightarrow n = -2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo se decide comparando el director de la recta con el normal del plano:

\vec{u} = (3,\, n,\, 2) \qquad \vec{n} = (m,\, 5,\, 2)

a) $r\perp\pi$ $\iff$ $\vec{u}$ y $\vec{n}$ son proporcionales. Al ser iguales las terceras componentes, la razón de proporcionalidad es inmediata.
b) $r\subset\pi$ $\iff$ $\vec{u}\cdot\vec{n} = 0$ y un punto de $r$ está en $\pi$ . Son dos ecuaciones con dos incógnitas, y aquí sí tienen solución (a diferencia de otros enunciados parecidos).

Desarrollo

Datos. De la ecuación continua: punto

P(-1,\,0,\,1)

y director

\vec{u} = (3,\,n,\,2)

. Normal del plano:

\vec{n} = (m,\,5,\,2)

.

a) $r\perp\pi$ : los vectores son proporcionales.

\frac{3}{m} = \frac{n}{5} = \frac{2}{2}

La última razón vale

1

, luego

\frac{3}{m} = 1 \;\Longrightarrow\; m = 3 \qquad \frac{n}{5} = 1 \;\Longrightarrow\; n = 5

m = 3, \qquad n = 5

Comprobación.

\;\vec{n} = (3,5,2) = \vec{u}

: efectivamente son el mismo vector

\checkmark

b) $r\subset\pi$ : dos condiciones.

Condición 1: el director es perpendicular al normal.

\vec{u}\cdot\vec{n} = 3m+5n+4 = 0

Condición 2: el punto $P(-1,0,1)$ pertenece a $\pi$ .

m(-1)+5(0)+2(1) = 0 \;\Longrightarrow\; -m+2 = 0 \;\Longrightarrow\; m = 2

Sustituyendo en la primera:

3(2)+5n+4 = 0 \;\Longrightarrow\; 5n = -10 \;\Longrightarrow\; n = -2

m = 2, \qquad n = -2

Comprobación. Con

\pi \equiv 2x+5y+2z = 0

\vec{u} = (3,-2,2)

\vec{u}\cdot\vec{n} = 6-10+4 = 0 \;\checkmark \qquad P(-1,0,1): \ -2+0+2 = 0 \;\checkmark

Y otro punto de

r

, por ejemplo

Q(2,-2,3)

(parámetro

1

2(2)+5(-2)+2(3) = 4-10+6 = 0 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Las dos situaciones son opuestas: perpendicular al plano $\Rightarrow$ director paralelo al normal (producto vectorial nulo); contenida en el plano $\Rightarrow$ director perpendicular al normal (producto escalar nulo).

En b) no basta con $\vec{u}\cdot\vec{n}=0$ : eso solo dice que la recta es paralela al plano. Hay que añadir que un punto de $r$ pertenezca a $\pi$ ; con dos incógnitas, las dos ecuaciones son justo las que hacen falta.

Empieza por la condición más sencilla: la del punto solo involucra $m$ , y una vez conocido $m$ , la otra da $n$ directamente. Al revés tendrías que resolver un sistema.