Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2025 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque con optatividad 2). Considera el plano

\pi \equiv 2x + y + 2z + 5 = 0

.

a) [1,5 puntos] Calcula el punto simétrico de

P(1,0,1)

respecto de

\pi

.

b) [1 punto] Calcula los planos paralelos a

\pi

y que disten

2

unidades de

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad P'(-3,\ -2,\ -3) \quad (\text{pie de la perpendicular } M(-1,-1,-1))\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad 2x + y + 2z + 11 = 0 \qquad\text{y}\qquad 2x + y + 2z - 1 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El simétrico de un punto respecto de un plano sale siempre por el mismo camino de tres pasos: recta perpendicular al plano por

P

(su director es el vector normal

\vec{n}

), pie de la perpendicular

M

(se sustituye la recta en el plano) y simétrico usando que

M

es el punto medio, es decir

P' = 2M - P

.

En b) el truco es que dos planos paralelos comparten el vector normal, así que solo cambia el término independiente:

2x+y+2z+D = 0

. Con la fórmula de la distancia entre planos paralelos sale una ecuación con valor absoluto y, por tanto, dos planos, uno a cada lado.

Desarrollo

El vector normal del plano es

\vec{n} = (2,\ 1,\ 2)

, con

\lVert\vec{n}\rVert = \sqrt{4+1+4} = 3

(un módulo redondo que simplifica todo lo que viene).

a) Punto simétrico.

Paso 1: recta perpendicular a $\pi$ por $P(1,0,1)$ .

s \equiv \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = 1 + 2t \end{cases}

Paso 2: pie de la perpendicular. Sustituimos en la ecuación de

\pi

2(1+2t) + t + 2(1+2t) + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; 2 + 4t + t + 2 + 4t + 5 = 9t + 9 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

M = (1-2,\ -1,\ 1-2) = (-1,\ -1,\ -1)

(Comprobación: $2(-1) + (-1) + 2(-1) + 5 = -2-1-2+5 = 0$ ✓, $M \in \pi$ .)

Paso 3: el simétrico.

M

es el punto medio de

P

P'

, luego

P' = 2M - P

P' = \bigl(2(-1) - 1,\ 2(-1) - 0,\ 2(-1) - 1\bigr) = (-3,\ -2,\ -3)

(Comprobación: el punto medio de $P(1,0,1)$ y $P'(-3,-2,-3)$ es $\left(\frac{1-3}{2}, \frac{0-2}{2}, \frac{1-3}{2}\right) = (-1,-1,-1) = M$ ✓.)

b) Planos paralelos a distancia $2$ . Un plano paralelo a

\pi

tiene la misma normal, así que su ecuación es

\pi' \equiv 2x + y + 2z + D = 0, \qquad D \neq 5

La distancia entre dos planos paralelos es

d(\pi, \pi') = \frac{|D - 5|}{\lVert\vec{n}\rVert} = \frac{|D-5|}{3} = 2 \;\Longrightarrow\; |D - 5| = 6

D - 5 = 6 \;\Longrightarrow\; D = 11 \qquad\qquad D - 5 = -6 \;\Longrightarrow\; D = -1

Los dos planos son

\pi_{1} \equiv 2x + y + 2z + 11 = 0 \qquad\text{y}\qquad \pi_{2} \equiv 2x + y + 2z - 1 = 0

Comprobación rápida: el punto

(0,-5,0) \in \pi

; su distancia a

\pi_1

\frac{|0-5+0+11|}{3} = \frac{6}{3} = 2

✓, y a

\pi_2

\frac{|0-5+0-1|}{3} = \frac{6}{3} = 2

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En el simétrico, el paso que más se falla es el último: $M$ es el punto medio, así que $P' = 2M - P$ , no $P' = M - P$ ni $P' = M + \vec{PM}$ mal orientado. Comprobar que el punto medio de $P$ y $P'$ da $M$ cuesta diez segundos.

En b), no montes la distancia con un punto genérico: dos planos paralelos solo se diferencian en $D$ , y con la fórmula $\frac{|D-D'|}{\lVert\vec{n}\rVert}$ el apartado es una línea. Y recuerda dar los dos planos: hay uno a cada lado de $\pi$ .