Ejercicio 8 (bloque D). Sea \pi_{1} el plano determinado por los puntos A(1,0,0), B(1,1,-3) y C(0,1,1), y sea \pi_{2} \equiv x - y + z - 1 = 0. Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2024 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque D). Sea

\pi_{1}

el plano determinado por los puntos

A(1,0,0)

B(1,1,-3)

C(0,1,1)

, y sea

\pi_{2} \equiv x - y + z - 1 = 0

. Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen.

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Resultado

\boxed{\;s \equiv \frac{x}{4} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-7}\;}

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Estrategia

Una recta paralela a un plano tiene su dirección perpendicular al vector normal de ese plano. Si tiene que ser paralela a dos planos, su director es perpendicular a las dos normales, y por tanto es (proporcional a) el producto vectorial de ambas:

\vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}

Así que el trabajo se reduce a: hallar

\vec{n}_{1}

(con dos vectores del plano

\pi_{1}

), leer

\vec{n}_{2}

del enunciado, multiplicar vectorialmente y escribir la recta por el origen. Conviene comprobar al final que la recta no está contenida en ninguno de los dos planos, porque entonces no sería paralela.

Desarrollo

Vector normal de $\pi_{1}$ . Con dos vectores directores del plano:

\overrightarrow{AB} = B - A = (0,\ 1,\ -3), \qquad \overrightarrow{AC} = C - A = (-1,\ 1,\ 1)

\vec{n}_{1} = \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & -3 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right|

= \bigl(1\cdot 1 - (-3)\cdot 1\bigr)\vec{i} - \bigl(0\cdot 1 - (-3)(-1)\bigr)\vec{j} + \bigl(0\cdot 1 - 1\cdot(-1)\bigr)\vec{k} = (4,\ 3,\ 1)

(De paso, la ecuación de $\pi_{1}$ es $4(x-1) + 3y + z = 0$ , es decir $4x + 3y + z - 4 = 0$ ; se comprueba con $B$ : $4+3-3-4=0$ ✓, y con $C$ : $0+3+1-4=0$ ✓.)

Vector normal de $\pi_{2}$ . Se lee directamente:

\vec{n}_{2} = (1,\ -1,\ 1)

(Los dos planos no son paralelos entre sí, porque $\vec{n}_{1}$ y $\vec{n}_{2}$ no son proporcionales; por eso el producto vectorial no será nulo y la dirección queda bien definida.)

Dirección de la recta.

\vec{v} = \vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right|

= \bigl(3\cdot 1 - 1\cdot(-1)\bigr)\vec{i} - \bigl(4\cdot 1 - 1\cdot 1\bigr)\vec{j} + \bigl(4\cdot(-1) - 3\cdot 1\bigr)\vec{k} = (4,\ -3,\ -7)

La recta, que pasa por el origen

O(0,0,0)

s \equiv \frac{x}{4} = \frac{y}{-3} = \frac{z}{-7} \qquad\text{o bien}\qquad s \equiv \begin{cases} x = 4\lambda \\ y = -3\lambda \\ z = -7\lambda \end{cases}

Comprobaciones.

Paralelismo:

\vec{v}\cdot\vec{n}_{1} = 16 - 9 - 7 = 0

✓ y

\vec{v}\cdot\vec{n}_{2} = 4 + 3 - 7 = 0

✓.

No está contenida en ningún plano: el origen no pertenece a

\pi_{1}

(sustituyendo,

-4 \neq 0

) ni a

\pi_{2}

(sustituyendo,

-1 \neq 0

) ✓. Luego

s

es estrictamente paralela a los dos, como pide el enunciado.

Nota: la recta

s

es también la dirección de la recta intersección de

\pi_{1}

\pi_{2}

; de hecho,

s

es la paralela a esa recta que pasa por el origen.

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Consejo

"Paralela a un plano" es una condición sobre la normal: $\vec{v}\cdot\vec{n} = 0$ . Con dos planos, el director sale de golpe como $\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}$ , sin necesidad de calcular la recta intersección ni resolver ningún sistema.

Y no olvides el último paso: comprobar que el origen no está en ninguno de los dos planos. Si estuviera, la recta quedaría contenida en él y no sería paralela; el enunciado dejaría de tener sentido y hay que saber detectarlo.