Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2022 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 8 (bloque B). Considera los planos

\pi_{1} \equiv x + y + 2 = 0

\pi_{2} \equiv x - z - 1 = 0

, así como la recta

r \equiv \begin{cases} 2x + z = 1 \\ y = 1 \end{cases}

a) [1,5 puntos] Calcula los puntos de la recta

r

que equidistan de los planos

\pi_{1}

\pi_{2}

.

b) [1 punto] Halla el ángulo que forman los planos

\pi_{1}

\pi_{2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad P_{1}\!\left(\frac{5}{2},\; 1,\; -4\right) \qquad \text{y} \qquad P_{2}\!\left(-\frac{1}{4},\; 1,\; \frac{3}{2}\right)\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \alpha = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el plan es: parametrizar

r

, escribir las dos distancias con la fórmula punto-plano e igualarlas. Aquí hay una simplificación afortunada: los dos vectores normales tienen el mismo módulo (

\sqrt{2}

), así que al igualar las distancias los denominadores se cancelan y queda simplemente

\bigl|\text{valor de } \pi_{1}\bigr| = \bigl|\text{valor de } \pi_{2}\bigr|

Y como hay valores absolutos, salen dos ecuaciones y por tanto dos puntos: uno en cada plano bisector.

En b), ángulo entre planos con la fórmula del coseno y valor absoluto en el numerador, porque el ángulo entre planos se toma siempre agudo.

Desarrollo

Parametrización de la recta. De

y = 1

z = 1 - 2x

, tomando

x = t

r \equiv P(t) = \bigl(t,\; 1,\; 1 - 2t\bigr), \qquad t \in \mathbb{R}

Los dos vectores normales.

\vec{n}_{1} = (1, 1, 0), \qquad \vec{n}_{2} = (1, 0, -1), \qquad \lVert\vec{n}_{1}\rVert = \lVert\vec{n}_{2}\rVert = \sqrt{2}

a) Las dos distancias.

d\bigl(P(t), \pi_{1}\bigr) = \frac{\bigl|t + 1 + 2\bigr|}{\sqrt{2}} = \frac{|t + 3|}{\sqrt{2}}

d\bigl(P(t), \pi_{2}\bigr) = \frac{\bigl|t - (1-2t) - 1\bigr|}{\sqrt{2}} = \frac{|3t - 2|}{\sqrt{2}}

Condición de equidistancia. Como los denominadores coinciden:

|t + 3| = |3t - 2|

Caso 1:

t + 3 = 3t - 2 \;\Longrightarrow\; 5 = 2t \;\Longrightarrow\; t = \frac{5}{2}

P_{1} = \left(\frac{5}{2},\; 1,\; 1 - 5\right) = \left(\frac{5}{2},\; 1,\; -4\right)

Caso 2:

t + 3 = -\,(3t - 2) = -3t + 2 \;\Longrightarrow\; 4t = -1 \;\Longrightarrow\; t = -\frac{1}{4}

P_{2} = \left(-\frac{1}{4},\; 1,\; 1 + \frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{1}{4},\; 1,\; \frac{3}{2}\right)

Comprobación de $P_{1}$ :

d(P_{1}, \pi_{1}) = \frac{\left|\frac{5}{2} + 1 + 2\right|}{\sqrt{2}} = \frac{11/2}{\sqrt{2}}, \qquad d(P_{1}, \pi_{2}) = \frac{\left|\frac{5}{2} + 4 - 1\right|}{\sqrt{2}} = \frac{11/2}{\sqrt{2}} \quad \checkmark

b) Ángulo entre los planos.

\cos\alpha = \frac{\bigl|\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}\bigr|}{\lVert\vec{n}_{1}\rVert\,\lVert\vec{n}_{2}\rVert} = \frac{\bigl|1\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot(-1)\bigr|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2}

\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que los dos normales tengan el mismo módulo es un regalo: comprueba $\lVert\vec{n}_{1}\rVert$ y $\lVert\vec{n}_{2}\rVert$ antes de plantear la ecuación y así podrás cancelar los denominadores directamente. Si no coincidieran, habría que arrastrarlos y las cuentas serían mucho más feas.

Y no te quedes con una sola solución. $|A| = |B|$ significa $A = B$ o $A = -B$ : son los dos planos bisectores del diedro, y la recta corta a cada uno en un punto. Dar solo $P_{1}$ deja media pregunta sin contestar.