Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2015 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Sea el plano

\pi \equiv 2x+y-z+8 = 0

.

a) [1,5 puntos] Calcula el punto

P'

, simétrico del punto

P(2,-1,5)

respecto del plano

\pi

.

b) [1 punto] Calcula la recta

r'

, simétrica de la recta

r \equiv \dfrac{x-2}{-2} = \dfrac{y+1}{3} = \dfrac{z-5}{1}

respecto del plano

\pi

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } Q(t) = (2+2t,-1+t,5-t) \text{ en } \pi \Rightarrow t = -1: \quad M(0,-2,6)\;}

\boxed{\;P' = 2M-P = (-2,\, -3,\, 7)\;}

\boxed{\;\text{b) } P\in r \text{ y } \vec{u}\cdot\vec{n} = -2\neq0: \ r \text{ corta a } \pi \text{ en } I(-4,8,8)\;}

\boxed{\;r' \text{ pasa por } P'(-2,-3,7) \text{ e } I(-4,8,8): \quad \frac{x+2}{-2} = \frac{y+3}{11} = \frac{z-7}{1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Método estándar del simétrico respecto de un plano: se traza la recta perpendicular por $P$ (dirección $\vec{n}$ ), se corta con $\pi$ para hallar el pie $M$ , y el simétrico cumple que $M$ es el punto medio de $\overline{PP'}$ , es decir, $P' = 2M-P$ .

b) Un detalle que simplifica muchísimo: el punto $P$ del apartado a) pertenece a la recta $r$ (es su punto base). Y como $\vec{u}\cdot\vec{n}\neq 0$ , la recta corta al plano en un punto $I$ , que es su propio simétrico.

Por tanto

r'

es la recta que pasa por

P'

y por

I

: dos puntos, y ya está.

Desarrollo

El normal del plano.

\;\vec{n} = (2,\, 1,\, -1)

.

a) La recta perpendicular por $P(2,-1,5)$ .

Q(t) = (2,-1,5)+t\,(2,1,-1) = \bigl(2+2t,\; -1+t,\; 5-t\bigr)

El pie $M$ . Sustituyendo en

\pi

2(2+2t)+(-1+t)-(5-t)+8 = 4+4t-1+t-5+t+8 = 6t+6 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

M = (2-2,\; -1-1,\; 5+1) = (0,\, -2,\, 6)

(Comprobación: $0-2-6+8 = 0$ $\checkmark$ )

El simétrico.

M

es el punto medio de

\overline{PP'}

P' = 2M-P = (0-2,\; -4+1,\; 12-5) = (-2,\, -3,\, 7)

Comprobación. Punto medio de

P

P'

\;\left(\frac{2-2}{2},\frac{-1-3}{2},\frac{5+7}{2}\right) = (0,-2,6) = M

\checkmark

b) La recta simétrica. De la ecuación continua: punto

(2,-1,5) = P

y director

\vec{u} = (-2,\,3,\,1)

.

¿Corta al plano?

\vec{u}\cdot\vec{n} = (-2)(2)+(3)(1)+(1)(-1) = -4+3-1 = -2 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{la recta corta a } \pi

El punto de corte $I$ .

R(s) = (2-2s,\; -1+3s,\; 5+s)

2(2-2s)+(-1+3s)-(5+s)+8 = 4-4s-1+3s-5-s+8 = 6-2s = 0 \;\Longrightarrow\; s = 3

I = (2-6,\; -1+9,\; 5+3) = (-4,\, 8,\, 8)

(Comprobación: $-8+8-8+8 = 0$ $\checkmark$ )

La recta $r'$ . Pasa por

P'

(simétrico de

P\in r

) y por

I

(que está en el plano y es su propio simétrico):

\vec{P'I} = (-4+2,\; 8+3,\; 8-7) = (-2,\, 11,\, 1)

r' \equiv \frac{x+2}{-2} = \frac{y+3}{11} = \frac{z-7}{1}

Comprobación por otra vía. El director reflejado se obtiene con

\vec{u\,}' = \vec{u}-2\,\frac{\vec{u}\cdot\vec{n}}{\lVert\vec{n}\rVert^{2}}\,\vec{n} = (-2,3,1)-2\cdot\frac{-2}{6}\,(2,1,-1) = (-2,3,1)+\frac23(2,1,-1)

= \left(-\frac23,\; \frac{11}{3},\; \frac13\right) = \frac13\,(-2,\, 11,\, 1) \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El simétrico de un punto respecto de un plano se obtiene siempre igual: recta perpendicular $\to$ pie $M$ $\to$ $P' = 2M-P$ . Memoriza esa última fórmula: es más rápida y segura que despejar componente a componente.

Fíjate en que el punto base de $r$ es el $P$ del apartado a): el enunciado te ha regalado la mitad del trabajo. Reconocerlo convierte b) en un ejercicio de dos líneas.

Los puntos del plano son sus propios simétricos. Por eso el punto de corte $I$ pertenece a $r$ y a $r'$ , y con él y $P'$ la recta simétrica queda determinada sin reflejar el vector director.