Áreas, volúmenes y distancias

a) Con vértice en el origen, los vectores que definen el tetraedro son$$\vec{OA} = (0,2,-2), \qquad \vec{OB} = (1,2,m), \qquad \vec{OC} = (2,3,2)$$El volumen es un sexto del valor absoluto del producto mixto:$$V = \frac{1}{6}\,\bigl|\,[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]\,\bigr| = \frac{1}{6}\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & m \\ 2 & 3 & 2 \end{array}\right|$$Desarrollamos el determinante por la primera fila:$$\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & m \\ 2 & 3 & 2 \end{array}\right| = 0\cdot(4 - 3m) - 2\cdot(2 - 2m) + (-2)\cdot(3 - 4) = -4 + 4m + 2 = 4m - 2$$Imponemos el volumen:$$\frac{|4m - 2|}{6} = 3 \;\Longrightarrow\; |4m - 2| = 18$$$$4m - 2 = 18 \;\Longrightarrow\; m = 5 \qquad\qquad 4m - 2 = -18 \;\Longrightarrow\; m = -4$$Hay que dar las dos soluciones: $m = 5$ y $m = -4$. (Para ambas el determinante es no nulo, así que los cuatro puntos no son coplanarios y el tetraedro existe de verdad.)

b) Con $m = 0$ el punto es $B(1,2,0)$. Buscamos el plano $\pi$ que pasa por $A$, $B$ y $C$.

Vectores directores:$$\vec{AB} = B - A = (1, 0, 2), \qquad \vec{AC} = C - A = (2, 1, 4)$$Un vector normal es su producto vectorial:$$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{array}\right| = (0\cdot 4 - 2\cdot 1)\,\vec{i} - (1\cdot 4 - 2\cdot 2)\,\vec{j} + (1\cdot 1 - 0\cdot 2)\,\vec{k} = (-2,\, 0,\, 1)$$Imponiendo que pase por $A(0,2,-2)$:$$-2(x - 0) + 0(y - 2) + 1(z + 2) = 0 \;\Longrightarrow\; -2x + z + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 2x - z - 2 = 0$$(Se comprueba en un segundo: $B(1,2,0) \to 2-0-2=0$ ✓ y $C(2,3,2) \to 4-2-2=0$ ✓.)

Distancia del origen al plano:$$d(O, \pi) = \frac{|2\cdot 0 - 0 - 2|}{\sqrt{2^{2} + 0^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0{,}89 \ \text{unidades}$$Comprobación por el volumen. Con $m=0$ el determinante vale $4\cdot 0 - 2 = -2$, luego $V = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. El área del triángulo $ABC$ es $\frac{1}{2}\lVert \vec{n}\rVert = \frac{\sqrt{5}}{2}$. De $V = \frac{1}{3}\cdot\text{área}\cdot d$:$$\frac{1}{3} = \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot d \;\Longrightarrow\; d = \frac{2}{\sqrt{5}}$$Coincide.