Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2009 · Reserva 1 · Opción B
Enunciado
Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Considera la recta rr definida porr≡{y=−12x−z=2r \equiv \begin{cases} y = -1 \\ 2x-z = 2\end{cases}y la recta ss definida pors≡{x=4+3λy=3−λz=5+4λs \equiv \begin{cases} x = 4+3\lambda \\ y = 3-\lambda \\ z = 5+4\lambda\end{cases}Halla la ecuación del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.
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Resultado
  u⃗=n1⃗×n2⃗=(−1,0,−2),P(1,−1,0)∈r  \boxed{\;\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (-1,0,-2), \quad P(1,-1,0)\in r\;}  v⃗=(3,−1,4) (director de s)  \boxed{\;\vec v = (3,-1,4) \ \text{(director de } s)\;}  n⃗=u⃗×v⃗=(−2,−2,1)  \boxed{\;\vec n = \vec u\times\vec v = (-2,-2,1)\;}  π ⁣:2x+2y−z=0(n⃗⋅v⃗=0 ✓)  \boxed{\;\pi\colon 2x+2y-z = 0 \qquad (\vec n\cdot\vec v = 0 \ \checkmark)\;}
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1

Estrategia

El plano queda determinado por:
  • un punto: cualquiera de rr,
  • dos direcciones: u⃗\vec{u}, el director de rr (para contenerla), y v⃗\vec{v}, el director de ss (para ser paralelo a ella).
n⃗=u⃗×v⃗\vec n = \vec u\times\vec vY al final hay que comprobar que un punto de ss no cumple la ecuación: si la cumpliera, el plano contendría a ss en vez de ser paralelo a ella.
2

Desarrollo

El director de rr. Los normales de sus dos planos son n1⃗=(0,1,0)\vec{n_{1}} = (0,1,0) y n2⃗=(2,0,−1)\vec{n_{2}} = (2,0,-1):u⃗=n1⃗×n2⃗=∣i⃗j⃗k⃗01020−1∣\vec u = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1\end{array}\right|i⃗:(1)(−1)−(0)(0)=−1j⃗:−[(0)(−1)−(0)(2)]=0k⃗:(0)(0)−(1)(2)=−2\vec i: (1)(-1)-(0)(0) = -1 \qquad \vec j: -\bigl[(0)(-1)-(0)(2)\bigr] = 0 \qquad \vec k: (0)(0)-(1)(2) = -2u⃗=(−1, 0, −2)\vec u = (-1,\, 0,\, -2)Un punto de rr. Con x=1x = 1:   y=−1\;y = -1 y   z=2⋅1−2=0\;z = 2\cdot1-2 = 0.P(1, −1, 0)P(1,\,-1,\,0)El director de ss. De las paramétricas:v⃗=(3,  −1,  4)\vec v = (3,\; -1,\; 4)El normal del plano.n⃗=u⃗×v⃗=∣i⃗j⃗k⃗−10−23−14∣\vec n = \vec u\times\vec v = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & 0 & -2 \\ 3 & -1 & 4\end{array}\right|i⃗:(0)(4)−(−2)(−1)=−2j⃗:−[(−1)(4)−(−2)(3)]=−2k⃗:(−1)(−1)−(0)(3)=1\vec i: (0)(4)-(-2)(-1) = -2 \qquad \vec j: -\bigl[(-1)(4)-(-2)(3)\bigr] = -2 \qquad \vec k: (-1)(-1)-(0)(3) = 1n⃗=(−2, −2, 1)\vec n = (-2,\, -2,\, 1)La ecuación del plano. Con P(1,−1,0)P(1,-1,0):−2 (x−1)−2 (y+1)+1 (z−0)=0-2\,(x-1)-2\,(y+1)+1\,(z-0) = 0−2x+2−2y−2+z=0  ⟹  −2x−2y+z=0-2x+2-2y-2+z = 0 \;\Longrightarrow\; -2x-2y+z = 0π ⁣:  2x+2y−z=0\pi\colon\; 2x+2y-z = 0Comprobaciones.

Otro punto de rr (con x=2x=2: y=−1y=-1, z=2z=2), es decir (2,−1,2)(2,-1,2):4−2−2=0  ✓(la recta r estaˊ contenida)4-2-2 = 0 \;\checkmark \quad (\text{la recta } r \text{ está contenida})Un punto de ss (con λ=0\lambda=0): (4,3,5)(4,3,5):8+6−5=9≠0  ✓(s es paralela, no contenida)8+6-5 = 9 \neq 0 \;\checkmark \quad (s \text{ es paralela, no contenida})Y el paralelismo:   n⃗⋅v⃗=6−2−4=0\;\vec n\cdot\vec v = 6-2-4 = 0   ✓\;\checkmark

(Además el plano pasa por el origen: su término independiente es 00.)
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3

Consejo

"Contiene a rr" y "es paralelo a ss" aportan dos direcciones al plano; el punto sale de rr. Es el esquema estándar de "plano por una recta y paralelo a otra".

Cuando ss viene en paramétricas, el director son los coeficientes de λ\lambda y el punto, los términos independientes. No hay que convertir nada.

Cierra con dos comprobaciones: un segundo punto de rr cumple la ecuación (contenida) y un punto de ss no la cumple (paralela, no contenida).
Paso 1 de 3
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