Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2024 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 7 (bloque D). Considera los puntos

P(1,0,1)

Q(3,-2,1)

.

a) [1 punto] Calcula el plano perpendicular al segmento

PQ

que pasa por su punto medio.

b) [1,5 puntos] Calcula el plano paralelo a la recta

r \equiv 1 - x = \frac{y-2}{3} = z+1

que pasa por

P

Q

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Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad \pi_{1} \equiv x - y - 3 = 0 \quad (\text{plano mediador, por } M(2,-1,1))\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \pi_{2} \equiv x + y - 2z + 1 = 0\;}

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Estrategia

En a) se pide el plano mediador (o mediatriz) del segmento: su vector normal es

\overrightarrow{PQ}

y pasa por el punto medio

M

. Dos datos, dos líneas de cálculo. Como control, todos sus puntos equidistan de

P

Q

.

En b) el plano tiene que contener a

P

Q

(luego la dirección

\overrightarrow{PQ}

) y ser paralelo a

r

(luego contener también la dirección

\vec{v}_{r}

). Con dos direcciones y un punto, la normal es el producto vectorial. Ojo al leer la recta:

1-x

\dfrac{x-1}{-1}

, así que la primera componente del director es

-1

Desarrollo

Datos comunes.

\overrightarrow{PQ} = Q - P = (2,\ -2,\ 0), \qquad M = \left(\frac{1+3}{2},\ \frac{0-2}{2},\ \frac{1+1}{2}\right) = (2,\ -1,\ 1)

a) Plano mediador. Su normal es

\overrightarrow{PQ} = (2,-2,0)

y pasa por

M(2,-1,1)

2(x-2) - 2(y+1) + 0\,(z-1) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x - 2y - 6 = 0

Dividiendo entre

2

\pi_{1} \equiv x - y - 3 = 0

Comprobación (equidistancia).

d(P,\pi_{1}) = \dfrac{|1-0-3|}{\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

d(Q,\pi_{1}) = \dfrac{|3+2-3|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

: coinciden, como debe ocurrir en el plano mediador. Y

M

está en él:

2+1-3 = 0

✓.

b) Plano por $P$ y $Q$ paralelo a $r$ .

Lectura de la recta. Reescribiendo el primer miembro,

r \equiv \frac{x-1}{-1} = \frac{y-2}{3} = \frac{z+1}{1} \;\Longrightarrow\; \vec{v}_{r} = (-1,\ 3,\ 1), \quad A(1,\,2,\,-1)\in r

Vector normal. El plano contiene las direcciones

\overrightarrow{PQ}

\vec{v}_{r}

\vec{n} = \overrightarrow{PQ}\times\vec{v}_{r} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & 0 \\ -1 & 3 & 1\end{array}\right| = (-2-0)\,\vec{i} - (2-0)\,\vec{j} + (6-2)\,\vec{k} = (-2,\ -2,\ 4)

Podemos simplificar dividiendo entre

-2

\vec{n} \parallel (1,\ 1,\ -2)

.

Ecuación, imponiendo que pase por

P(1,0,1)

1\,(x-1) + 1\,(y-0) - 2\,(z-1) = 0 \;\Longrightarrow\; x + y - 2z + 1 = 0

\pi_{2} \equiv x + y - 2z + 1 = 0

Comprobaciones.

P(1,0,1)

1+0-2+1 = 0

✓.

Q(3,-2,1)

3-2-2+1 = 0

✓. Paralelismo con

r

\vec{n}\cdot\vec{v}_{r} = -1+3-2 = 0

✓. Y

r

no está contenida en

\pi_{2}

, porque su punto

A(1,2,-1)

1+2+2+1 = 6 \neq 0

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), el plano mediador es el caso más sencillo de plano: normal $= \overrightarrow{PQ}$ y punto $=$ punto medio. No hay que plantear ninguna ecuación de distancias (aunque comprobar la equidistancia al final es una buena verificación).

En b), lee la recta con cuidado: $1-x = \frac{x-1}{-1}$ , así que el director es $(-1,3,1)$ y no $(1,3,1)$ . Un signo ahí cambia el producto vectorial y el plano entero. Y remata comprobando que la recta no queda dentro del plano: paralelismo estricto es lo que se pide.