Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2014 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 4. Considera los puntos

A(1,1,2)

B(1,-1,-2)

y la recta

r

dada por

r \equiv \begin{cases} x = 1+2t \\ y = \phantom{1+2}t \\ z = 1\end{cases}

a) [1 punto] Halla la ecuación general del plano que contiene a

r

y es paralelo a la recta que pasa por

A

y por

B

.

b) [1,5 puntos] Halla el punto de la recta

r

que está a la misma distancia de

A

y de

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r: P_{0}(1,0,1), \ \vec{u} = (2,1,0); \qquad \vec{AB} = (0,-2,-4)\;}

\boxed{\;\text{a) } \vec{n} = \vec{u}\times\vec{AB} = (-4,8,-4)\sim(1,-2,1): \quad x-2y+z-2 = 0\;}

\boxed{\;\text{b) } 5t^{2}-2t+2 = 5t^{2}+2t+10 \;\Longrightarrow\; t = -2\;}

\boxed{\;Q = (-3,\, -2,\, 1), \quad \text{a distancia } \sqrt{26} \text{ de ambos}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Un plano que contiene a $r$ y es paralelo a otra recta lleva las dos direcciones: $\vec{u}$ (director de $r$ ) y $\vec{AB}$ . Su normal es $\vec{u}\times\vec{AB}$ , y pasa por un punto de $r$ .
b) Se toma el punto genérico $Q(t)$ de $r$ y se impone $d(Q,A) = d(Q,B)$ . Trabajando con los cuadrados de las distancias, los términos en $t^{2}$ se cancelan y queda una ecuación de primer grado.

Desarrollo

Datos.

r: \; P_{0}(1,\,0,\,1), \quad \vec{u} = (2,\, 1,\, 0)

\vec{AB} = (1-1,\; -1-1,\; -2-2) = (0,\, -2,\, -4)

a) El plano. Su normal es perpendicular a las dos direcciones:

\vec{n} = \vec{u}\times\vec{AB} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -4\end{array}\right|

\vec{i}: (1)(-4)-(0)(-2) = -4 \qquad \vec{j}: -\bigl[(2)(-4)-(0)(0)\bigr] = 8 \qquad \vec{k}: (2)(-2)-(1)(0) = -4

\vec{n} = (-4,\, 8,\, -4) \;\sim\; (1,\, -2,\, 1)

Imponiendo que pase por

P_{0}(1,0,1)

1-0+1+D = 0 \;\Longrightarrow\; D = -2

\pi \equiv x-2y+z-2 = 0

Comprobaciones.

P_{0}(1,0,1)

\;1-0+1-2 = 0\;\checkmark

;

\;\vec{u}\cdot\vec{n} = 2-2+0 = 0\;\checkmark

;

\;\vec{AB}\cdot\vec{n} = 0+4-4 = 0\;\checkmark

(Nótese que $A(1,1,2)$ da $1-2+2-2 = -1 \neq 0$ : la recta $AB$ es paralela al plano, no está contenida en él, como pide el enunciado.)

b) El punto equidistante. Con

Q(t) = (1+2t,\; t,\; 1)

\lVert\vec{QA}\rVert^{2} = (2t)^{2}+(t-1)^{2}+(-1)^{2} = 4t^{2}+t^{2}-2t+1+1 = 5t^{2}-2t+2

\lVert\vec{QB}\rVert^{2} = (2t)^{2}+(t+1)^{2}+3^{2} = 4t^{2}+t^{2}+2t+1+9 = 5t^{2}+2t+10

Igualando (los

5t^{2}

se cancelan):

-2t+2 = 2t+10 \;\Longrightarrow\; -4t = 8 \;\Longrightarrow\; t = -2

Q = (1-4,\; -2,\; 1) = (-3,\, -2,\, 1)

Comprobación.

\lVert\vec{QA}\rVert^{2} = 16+9+1 = 26 \qquad \lVert\vec{QB}\rVert^{2} = 16+1+9 = 26 \quad \checkmark

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Consejo

"Contiene a $r$ y es paralelo a $AB$ " son dos direcciones del plano: el normal es su producto vectorial. No confundas con "contiene a las dos rectas", que solo sería posible si se cortan o son paralelas.

En b), trabaja con los cuadrados de las distancias: los términos cuadráticos se cancelan solos y la ecuación queda de primer grado. Con raíces el cálculo es innecesariamente pesado.

Merece la pena comprobar que $A$ no pertenece al plano: eso confirma que la recta $AB$ es paralela y no está contenida, que es lo que pide el enunciado.