Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2008 · Reserva 4 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. [2,5 puntos] Sea la recta

r

definida por

r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ x-y = 0\end{cases}

y sean los planos

\pi_{1}

, de ecuación

\;x+y+z = 0

, y

\pi_{2}

, de ecuación

\;y+z = 0

.

Halla la recta contenida en el plano $\pi_{1}$ , que es paralela al plano $\pi_{2}$ y que corta a la recta $r$ .

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r \equiv (1,\,1,\,t), \quad \vec{u_{r}} = (0,0,1)\;}

\boxed{\;\vec w = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = (0,-1,1) \ \bigl(\perp\vec{n_{1}} \text{ y } \perp\vec{n_{2}}\bigr)\;}

\boxed{\;\text{Corte con } r \text{ dentro de } \pi_{1}: \ 1+1+t = 0 \Rightarrow t = -2, \ P(1,1,-2)\;}

\boxed{\;s\colon (x,y,z) = (1,1,-2)+\lambda\,(0,-1,1) \equiv \{x = 1,\ y+z = -1\}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres condiciones, y las dos primeras determinan por completo la dirección:

contenida en $\pi_{1}$ $\Rightarrow$ $\vec w\perp\vec{n_{1}}$ ,
paralela a $\pi_{2}$ $\Rightarrow$ $\vec w\perp\vec{n_{2}}$ ,

luego

\vec w = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}}

La tercera condición da el punto: el corte con

r

debe estar en

\pi_{1}

(porque la recta buscada vive ahí).

Desarrollo

La recta $r$ . De

x = 1

x-y = 0

se sigue

y = 1

, con

z

libre:

r \equiv (1,\; 1,\; t) \qquad \vec{u_{r}} = (0,\,0,\,1)

(Es la vertical que pasa por $(1,1,0)$ .)

La dirección de la recta buscada. Con

\vec{n_{1}} = (1,1,1)

\vec{n_{2}} = (0,1,1)

\vec w = \vec{n_{1}}\times\vec{n_{2}} = \left|\begin{array}{ccc}\vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right|

\vec i: (1)(1)-(1)(1) = 0 \qquad \vec j: -\bigl[(1)(1)-(1)(0)\bigr] = -1 \qquad \vec k: (1)(1)-(1)(0) = 1

\vec w = (0,\, -1,\, 1)

El punto: el corte con $r$ . Debe ser un punto de

r

que además esté en

\pi_{1}

(1,\,1,\,t) \in \pi_{1} \;\Longrightarrow\; 1+1+t = 0 \;\Longrightarrow\; t = -2

P(1,\,1,\,-2)

La recta buscada.

s \equiv (x,y,z) = (1,\,1,\,-2)+\lambda\,(0,\,-1,\,1)

s \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = 1-\lambda \\ z = -2+\lambda\end{cases} \qquad \text{o bien} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y+z = -1\end{cases}

Comprobaciones.

Contenida en $\pi_{1}$ :

\;x+y+z = 1+(1-\lambda)+(-2+\lambda) = 0

\;\checkmark

(para todo

\lambda

)

Paralela a $\pi_{2}$ :

\;\vec w\cdot\vec{n_{2}} = 0-1+1 = 0

\;\checkmark

, y el punto

P

no está en

\pi_{2}

\;1-2 = -1 \neq 0

\;\checkmark

(paralela, no contenida)

Corta a $r$ : en

P(1,1,-2)

, que pertenece a las dos

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Contenida en $\pi_{1}$ " y "paralela a $\pi_{2}$ " son dos perpendicularidades del director: con los dos normales, el producto vectorial da $\vec w$ de golpe.

El punto sale de la tercera condición: el corte con $r$ debe estar en $\pi_{1}$ , porque la recta buscada vive dentro de ese plano. Esa es la ecuación que fija el parámetro.

Comprueba que $P$ no está en $\pi_{2}$ : si lo estuviera, la recta estaría contenida en $\pi_{2}$ en vez de ser paralela a él.