Áreas, volúmenes y distancias

Datos de la recta. Las normales de los dos planos son $\vec{n}_{1} = (1,1,1)$ y $\vec{n}_{2} = (0,1,-1)$, luego$$\vec{v} = \vec{n}_{1} \times \vec{n}_{2} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right| = (-1 - 1)\,\vec{i} - (-1 - 0)\,\vec{j} + (1 - 0)\,\vec{k} = (-2,\ 1,\ 1)$$Como las dos ecuaciones son homogéneas, el origen $Q(0,0,0)$ cumple ambas y por tanto $Q \in r$.

a) Distancia de $P$ a $r$. Con $\overrightarrow{QP} = P - Q = (2,1,0)$:$$\overrightarrow{QP} \times \vec{v} = \left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right| = (1 - 0)\,\vec{i} - (2 - 0)\,\vec{j} + (2 + 2)\,\vec{k} = (1,\ -2,\ 4)$$$$\bigl\lVert \overrightarrow{QP}\times\vec{v} \bigr\rVert = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}, \qquad \lVert\vec{v}\rVert = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$$$$d(P, r) = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21}{6}} = \sqrt{\frac{7}{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} \approx 1{,}87 \ \text{unidades}$$b) Plano que contiene a $r$ y a $P$. El plano pasa por $Q(0,0,0)$ y tiene las direcciones $\vec{v}$ y $\overrightarrow{QP}$. Su normal es justamente el producto vectorial ya calculado (salvo el orden, que solo cambia el signo):$$\vec{n} = \overrightarrow{QP} \times \vec{v} = (1,\ -2,\ 4)$$Como pasa por el origen, el término independiente es $0$:$$\pi \equiv x - 2y + 4z = 0$$Comprobaciones. $P(2,1,0)$: $2 - 2 + 0 = 0$ ✓. $Q(0,0,0)$: $0$ ✓. Otro punto de $r$: tomando $y = z = 1$ resulta $x = -2$, es decir $(-2,1,1)$, y $-2 - 2 + 4 = 0$ ✓.

Coherencia entre los dos apartados: la distancia calculada en a) tiene que ser mayor que $0$ precisamente porque $P \notin r$ (si estuviera en la recta, el producto vectorial sería nulo y el plano de b) no estaría determinado).