Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Vectores y ángulos

Andalucía · 2010 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Los puntos

P(2,0,0)

Q(-1,12,4)

son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice

S

pertenece a la recta

r

de ecuación

r \equiv \begin{cases} 4x+3z = 33 \\ y = 0\end{cases}

a) [1,5 puntos] Calcula las coordenadas del punto

S

sabiendo que

r

es perpendicular a la recta que pasa por

P

S

.

b) [1 punto] Comprueba si el triángulo es rectángulo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;S(s) = (3s,\,0,\,11-4s), \quad \vec{u_{r}} = (3,0,-4)\;}

\boxed{\;\vec{PS}\cdot\vec{u_{r}} = 25s-50 = 0 \;\Longrightarrow\; s = 2 \;\Longrightarrow\; S(6,\,0,\,3)\;}

\boxed{\;\vec{PQ} = (-3,12,4), \ \vec{PS} = (4,0,3): \ \vec{PQ}\cdot\vec{PS} = 0\;}

\boxed{\;\text{Rectángulo en } P: \ 13^{2}+5^{2} = 194 = \bigl|\vec{QS}\bigr|^{2}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) $S$ es un punto genérico de $r$ , así que $\vec{PS}$ depende de un parámetro. La condición " $r\perp PS$ " se escribe

\vec{PS}\cdot\vec{u_{r}} = 0

y da una ecuación de primer grado.

b) Un triángulo es rectángulo si alguno de los tres productos escalares de sus lados (tomados desde cada vértice) se anula. Hay que probar los tres, no solo uno.

Desarrollo

Parametrizamos $r$ . Con

y = 0

4x+3z = 33

, tomando

x = 3s

12s+3z = 33 \;\Longrightarrow\; z = 11-4s

S(s) = (3s,\; 0,\; 11-4s) \qquad \vec{u_{r}} = (3,\, 0,\, -4)

(Comprobación: $\;4(3s)+3(11-4s) = 12s+33-12s = 33$ $\checkmark$ )

a) La condición de perpendicularidad.

\vec{PS} = S-P = (3s-2,\; 0,\; 11-4s)

\vec{PS}\cdot\vec{u_{r}} = 3\,(3s-2)+0-4\,(11-4s) = 9s-6-44+16s = 25s-50

25s-50 = 0 \;\Longrightarrow\; s = 2

S = (6,\; 0,\; 3)

Comprobaciones.

S\in r

\;4\cdot6+3\cdot3 = 24+9 = 33

\checkmark

\;y = 0

\checkmark

\vec{PS} = (4,\, 0,\, 3) \;\Longrightarrow\; \vec{PS}\cdot\vec{u_{r}} = 12+0-12 = 0 \;\checkmark

b) ¿Es rectángulo? Los tres lados del triángulo

PQS

\vec{PQ} = Q-P = (-3,\; 12,\; 4) \qquad \vec{PS} = (4,\; 0,\; 3) \qquad \vec{QS} = S-Q = (7,\; -12,\; -1)

Ángulo en $P$ :

\vec{PQ}\cdot\vec{PS} = (-3)(4)+(12)(0)+(4)(3) = -12+0+12 = 0

\textbf{Perpendiculares: el triángulo es rectángulo en } P

Los otros dos (para completar la comprobación):

\vec{QP}\cdot\vec{QS} = (3,-12,-4)\cdot(7,-12,-1) = 21+144+4 = 169 \neq 0

\vec{SP}\cdot\vec{SQ} = (-4,0,-3)\cdot(-7,12,1) = 28+0-3 = 25 \neq 0

Los catetos y la hipotenusa.

\bigl|\vec{PQ}\bigr| = \sqrt{9+144+16} = \sqrt{169} = 13 \qquad \bigl|\vec{PS}\bigr| = \sqrt{16+0+9} = 5

\bigl|\vec{QS}\bigr| = \sqrt{49+144+1} = \sqrt{194}

Teorema de Pitágoras:

\;13^{2}+5^{2} = 169+25 = 194 = \bigl|\vec{QS}\bigr|^{2}

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Elige la parametrización que menos fracciones genere: tomar $x = 3s$ (en vez de $x = s$ ) hace que $z = 11-4s$ salga entero y el director sea $(3,0,-4)$ sin denominadores.

"Comprueba si es rectángulo" obliga a probar los tres vértices. Que uno dé $0$ resuelve el ejercicio, pero conviene decir que los otros dos no se anulan.

El teorema de Pitágoras es la comprobación redonda: $5$ , $13$ y $\sqrt{194}$ . Si los cuadrados no cuadran, el error está en $S$ .