Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Rectas y planos

Andalucía · 2017 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 4. Considera el punto

P(-1,0,1)

, el vector

\vec{u} = (1,2,1)

y el plano

\pi

de ecuación

y = 0

.

a) [1,25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por

P

, está contenida en

\pi

y cuyo vector director es perpendicular a

\vec{u}

.

b) [1,25 puntos] Determina la ecuación del plano que pasa por

P

, es perpendicular a

\pi

y del que

\vec{u}

es un vector director.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\pi \equiv y = 0 \text{ tiene normal } \vec{n} = (0,1,0), \text{ y } P\in\pi\;}

\boxed{\;\vec{n}\times\vec{u} = (1,\, 0,\, -1)\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad r \equiv (-1+t,\; 0,\; 1-t) \qquad\qquad \text{b)}\quad x - z + 2 = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El plano

\pi \equiv y = 0

es el plano coordenado $XZ$ , con normal

\vec{n} = (0,1,0)

. Y conviene comprobar de entrada que

P(-1,0,1)

pertenece a

\pi

(su segunda coordenada es

0

): eso hace posibles los dos apartados.

Curiosamente, ambos se resuelven con el mismo producto vectorial:

a) El director $\vec{v}$ debe ser perpendicular a $\vec{n}$ (para estar contenida en $\pi$ ) y a $\vec{u}$ (por el enunciado): $\vec{v} = \vec{n}\times\vec{u}$ .
b) La normal $\vec{w}$ del plano buscado debe ser perpendicular a $\vec{n}$ (planos perpendiculares) y a $\vec{u}$ (porque $\vec{u}$ es dirección del plano): $\vec{w} = \vec{n}\times\vec{u}$ .

El mismo vector actúa como director en a) y como normal en b).

Desarrollo

El producto vectorial.

\vec{n}\times\vec{u} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(1) - (0)(2) = 1 \qquad \vec{j}: \; -\bigl[(0)(1) - (0)(1)\bigr] = 0 \qquad \vec{k}: \; (0)(2) - (1)(1) = -1

\vec{n}\times\vec{u} = (1,\, 0,\, -1)

Comprobación previa:

P(-1,0,1)

tiene

y = 0

, luego

P\in\pi\;\checkmark

a) La recta. Con director

\vec{v} = (1,0,-1)

y pasando por

P

r \equiv (x,y,z) = (-1,\, 0,\, 1) + t\,(1,\, 0,\, -1) = \bigl(-1+t,\; 0,\; 1-t\bigr)

o en forma implícita

r \equiv \begin{cases} y = 0 \\ x + z = 0\end{cases}

Comprobaciones.

Está contenida en $\pi$ : todos sus puntos tienen $y = 0\;\checkmark$
El director es perpendicular a $\vec{u}$ : $\;(1,0,-1)\cdot(1,2,1) = 1 + 0 - 1 = 0\;\checkmark$

b) El plano. Su normal es

\vec{w} = (1,0,-1)

, y pasa por

P(-1,0,1)

1\,(x+1) + 0\,(y-0) - 1\,(z-1) = 0

x + 1 - z + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x - z + 2 = 0

Comprobaciones.

Pasa por $P$ : $\;-1 - 1 + 2 = 0\;\checkmark$
Es perpendicular a $\pi$ : $\;\vec{w}\cdot\vec{n} = (1,0,-1)\cdot(0,1,0) = 0\;\checkmark$
$\vec{u}$ es dirección suya: $\;\vec{w}\cdot\vec{u} = 1 + 0 - 1 = 0\;\checkmark$

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Reconoce $\pi \equiv y = 0$ como el plano coordenado $XZ$ , con normal $(0,1,0)$ . Con eso, "estar contenida en $\pi$ " para una recta es simplemente que su director sea perpendicular a $(0,1,0)$ y que pase por un punto del plano.

Comprueba que $P\in\pi$ antes de empezar: si no perteneciera, la recta del apartado a) no podría existir. Es una verificación de un segundo que da solidez a la respuesta.

Fíjate en la simetría de los dos apartados: el mismo vector $\vec{n}\times\vec{u}$ sirve como director en a) y como normal en b). Reconocerlo ahorra la mitad del trabajo, pero hay que tener claro en cada caso qué papel juega.