Ejercicio 8. Considera el plano \pi \equiv x - y + z = 2 y la recta r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+2}{-1} a) [1 punto] Calcula la distancia entre r y \pi. b) [1,5 puntos] Halla la ecuación general del plano perpendicular a \pi que contiene a r.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

Andalucía · 2020 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 8. Considera el plano

\pi \equiv x - y + z = 2

y la recta

r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+2}{-1}

a) [1 punto] Calcula la distancia entre

r

\pi

.

b) [1,5 puntos] Halla la ecuación general del plano perpendicular a

\pi

que contiene a

r

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Resultado

\boxed{\;\vec{n}_{\pi}\cdot\vec{d}_{r} = 0 \text{ y } P \notin \pi \;\Longrightarrow\; r \parallel \pi\;}

\boxed{\;\text{a)}\quad d(r,\pi) = \frac{|0+1-2-2|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \vec{n} = \vec{d}_{r}\times\vec{n}_{\pi} \parallel (0,1,1) \;\Longrightarrow\; y + z + 3 = 0\;}

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Estrategia

Antes de calcular ninguna distancia hay que saber cuál es la posición relativa. Si la recta corta al plano, la distancia es

0

y el apartado a) se acaba ahí; solo si son paralelos tiene sentido medir.

El test es el producto escalar

\vec{n}\cdot\vec{d}

: si es

0

, la recta es paralela al plano o está contenida en él, y hay que distinguir los dos casos con un punto de

r

. Si es paralela, la distancia recta-plano es la de cualquier punto suyo al plano.

En b), el plano buscado debe contener a

r

y ser perpendicular a

\pi

. Su normal es entonces perpendicular a

\vec{d}_{r}

(porque contiene la recta) y perpendicular a

\vec{n}_{\pi}

(porque los planos son perpendiculares): sale del producto vectorial de ambos.

Desarrollo

Datos de partida.

\vec{n}_{\pi} = (1,\, -1,\, 1), \qquad \vec{d}_{r} = (2,\, 1,\, -1), \qquad P(0,\, -1,\, -2) \in r

a) Posición relativa.

\vec{n}_{\pi}\cdot\vec{d}_{r} = 1\cdot 2 + (-1)\cdot 1 + 1\cdot(-1) = 2 - 1 - 1 = 0

La recta es paralela al plano o está contenida en él. Probamos

P

\pi

0 - (-1) + (-2) = -1 \neq 2

P \notin \pi

, luego

r

\pi

son estrictamente paralelos y la distancia es constante.

Distancia. Con la fórmula punto-plano (escribiendo

\pi \equiv x - y + z - 2 = 0

d(r, \pi) = d(P, \pi) = \frac{\bigl|0 - (-1) + (-2) - 2\bigr|}{\sqrt{1^{2} + (-1)^{2} + 1^{2}}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}

d(r, \pi) = \sqrt{3} \approx 1{,}73 \ \text{unidades}

b) Plano perpendicular a $\pi$ que contiene a $r$ . Su normal

\vec{n}

cumple

\vec{n}\perp\vec{d}_{r}

\vec{n}\perp\vec{n}_{\pi}

\vec{n} = \vec{d}_{r}\times\vec{n}_{\pi} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right|

\vec{i}: \; (1)(1) - (-1)(-1) = 1 - 1 = 0

\vec{j}: \; -\Bigl[(2)(1) - (-1)(1)\Bigr] = -(2 + 1) = -3

\vec{k}: \; (2)(-1) - (1)(1) = -2 - 1 = -3

\vec{n} = (0,\, -3,\, -3) \;\parallel\; (0,\, 1,\, 1)

Ecuación, imponiendo que pase por

P(0,-1,-2)

0\cdot(x - 0) + 1\cdot\bigl(y + 1\bigr) + 1\cdot\bigl(z + 2\bigr) = 0

y + z + 3 = 0

Comprobaciones.

Contiene a $r$ : un punto genérico de la recta es $(2t,\, -1+t,\, -2-t)$ , y $(-1+t) + (-2-t) + 3 = 0\;\checkmark$ para todo $t$ .
Es perpendicular a $\pi$ : $\;(0,1,1)\cdot(1,-1,1) = 0 - 1 + 1 = 0\;\checkmark$

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Consejo

Justifica el paralelismo antes de medir. La fórmula de la distancia punto-plano da un número siempre, aunque la recta corte al plano; ese número no significaría nada. El producto escalar nulo más un punto que no pertenece al plano es lo que autoriza a hablar de $d(r,\pi)$ .

En b), un plano perpendicular a otro no tiene el normal perpendicular a la recta y paralelo a $\vec{n}_{\pi}$ : tiene el normal perpendicular a los dos vectores. De ahí el producto vectorial. Y como el plano debe contener a $r$ , hay que hacerlo pasar por un punto de la recta, no por un punto cualquiera.

Curiosidad útil: la ecuación $y + z + 3 = 0$ es justo la que se obtiene igualando el segundo y el tercer miembro de la forma continua de $r$ — señal de que el resultado es coherente.