Álgebra

Lo que sí y lo que no se hereda de los números

La transpuesta $A^t$ se obtiene cambiando filas por columnas: la fila $i$ de $A$ pasa a ser la columna $i$ de $A^t$, así que si $A$ es $m\times n$, $A^t$ es $n\times m$. Cumple $(A^t)^t = A$, $(A+B)^t = A^t + B^t$ y $(kA)^t = k\,A^t$; con el producto (y con la inversa) el orden se invierte:

La identidad, las potencias y la matriz inversa

La matriz identidad $I$ (o $I_n$, si hay que precisar el orden) es la matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Hace el papel del 1: $AI = IA = A$ para toda $A$ cuadrada del mismo orden. Las potencias solo existen para matrices cuadradas: $A^2 = A\,A$, $A^3 = A^2A$…, y por convenio $A^0 = I$.

Una matriz cuadrada $A$ es invertible o regular si existe otra, $A^{-1}$, tal que $AA^{-1} = A^{-1}A = I$. No todas la tienen: la condición es exactamente $|A| \neq 0$ (si $|A| = 0$, la matriz es singular). Cuando existe, se calcula con la matriz adjunta, cuyos adjuntos se explican en el apartado 2:

Ecuaciones matriciales: despejar sin conmutar

Para despejar $X$ de una ecuación como $AX + B = C$, se «pasa» $B$ restando y después se multiplica por $A^{-1}$… por la izquierda en los dos miembros:

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los problemas de este apartado.

• Dar por hecho que $AB = BA$, o usar identidades notables sin desarrollar.
• Multiplicar por la inversa por lados distintos en cada miembro de la ecuación.
• Escribir $(AB)^t = A^t B^t$: el orden se invierte.
• «Simplificar» una matriz de los dos lados sin comprobar que es invertible.
• Errores de cuentas en el producto: fila por columna, con calma — un signo arrastra todo el problema.

Menores y adjuntos

En una matriz cuadrada $A = (a_{ij})$, el menor complementario $\alpha_{ij}$ del elemento $a_{ij}$ es el determinante que queda al tachar su fila $i$ y su columna $j$. El adjunto es ese menor con un signo que depende de la posición:

Con los adjuntos se desarrolla un determinante por cualquier fila o columna: es la suma de cada elemento por su adjunto (por la primera fila, $|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$). Y sustituyendo cada elemento por su adjunto se obtiene la matriz adjunta $\text{Adj}(A)$, la pieza de la inversa $A^{-1} = \frac{1}{|A|}\big(\text{Adj}(A)\big)^t$.

Las propiedades que caen en el examen

Dependencia lineal y rango

Una fila es combinación lineal de otras si se obtiene sumándolas multiplicadas por números: en $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \end{pmatrix}$ se cumple $F_3 = 2F_1 + F_2$. Unas filas son linealmente dependientes si alguna es combinación lineal de las demás, e independientes si ninguna lo es. Lo mismo vale para las columnas, y en una matriz cuadrada el determinante lo detecta:

El rango de una matriz, $\text{rg}(A)$, es el número máximo de filas linealmente independientes, que siempre coincide con el de columnas independientes. Se calcula con menores —los determinantes de las submatrices cuadradas que se forman eligiendo $k$ filas y $k$ columnas—: el rango es el orden del mayor menor no nulo, y nunca supera el número de filas ni el de columnas. En la práctica se busca un menor de orden 2 no nulo y se «orla» con una fila y una columna más de todas las formas posibles: si algún menor de orden 3 así formado no es nulo, el rango es 3 (en las matrices de tres filas del examen, $3\times 3$ o $3\times 4$, ya no puede ser mayor); si todos se anulan, es 2.

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los problemas de este apartado.

• Aplicar $|kA| = k|A|$: en orden 3 es $k^3|A|$.
• Olvidar el cambio de signo al intercambiar filas.
• Errores de signo en el desarrollo por adjuntos (el tablero de ajedrez $+,-,+$).
• No factorizar el determinante con parámetro, y perder por el camino alguna raíz.
• Confundir «determinante nulo» con «matriz nula»: una matriz llena de números puede tener $|A| = 0$.

El método para discutir con parámetro

Siempre el mismo guion, en tres pasos:

1. Calcula $|A|$ en función del parámetro y encuentra sus raíces: fuera de ellas, $\text{rg}(A) = 3$ y el sistema es SCD.
2. Para cada raíz, estudia por separado los rangos de $A$ y de $A^*$ (con menores).
3. Clasifica cada caso con la tabla, y resuelve donde te lo pidan (Cramer en el SCD; con un parámetro libre en el SCI).

Resolver: la regla de Cramer

Si el sistema tiene tantas ecuaciones como incógnitas y $|A| \neq 0$ (es decir, es SCD), cada incógnita es un cociente de determinantes: el denominador es siempre $|A|$, y el numerador, el determinante de $A$ con la columna de esa incógnita sustituida por los términos independientes:

En el ejemplo resuelto de más abajo, con $a = 2$: $|A| = 1$ y $|A_x| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -1$, así que $x = -1$.

Lo que significa geométricamente

Cada ecuación con tres incógnitas es un plano del espacio, así que discutir un sistema de tres ecuaciones es averiguar cómo están colocados tres planos: una solución es un punto común a los tres. Los rangos lo dicen todo:

Errores frecuentes

Recogidos de los consejos de los problemas de este apartado.

• Resolver sin discutir antes, o discutir solo el caso genérico y olvidar las raíces del determinante.
• Estudiar el rango de $A$ y no el de la ampliada en los casos críticos.
• Llamar incompatible a un sistema homogéneo.
• En Cramer, equivocar la columna que se sustituye o el orden de las incógnitas.
• En un SCI, no expresar la solución en función de un parámetro (dar solo una solución particular).

Si tuvieras que quedarte con seis frases del bloque entero, serían éstas:

1. El producto de matrices no conmuta: nada de identidades notables sin desarrollar, y las inversas entran por el mismo lado en los dos miembros.
2. Transponer o invertir un producto invierte el orden: $(AB)^t = B^tA^t$, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$.
3. $|A| \neq 0$ equivale a «tiene inversa», y en orden 3, $|kA| = k^3|A|$.
4. Sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante: haz ceros antes de desarrollar, sobre todo con parámetros.
5. Rouché–Frobenius: se comparan $\text{rg}(A)$, $\text{rg}(A^*)$ y el número de incógnitas — discutir siempre antes de resolver.
6. Un sistema homogéneo jamás es incompatible: la trivial siempre está.