Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2016 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ \phantom{-}0 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} -3 & \phantom{-}3 & \phantom{-}2 \\ -8 & \phantom{-}7 & \phantom{-}4 \\ \phantom{-}8 & -6 & -3\end{pmatrix}

a) [1,75 puntos] Halla la matriz

X

que verifica

A\,X + B = 2A

.

b) [0,75 puntos] Calcula

B^{2}

B^{2016}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad A\,X = 2A - B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}(2A - B), \qquad |A| = 1\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} 13 & -9 & -5 \\ 8 & -5 & -4 \\ 6 & -5 & -1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad B^{2} = I \;\Longrightarrow\; B^{2016} = \bigl(B^{2}\bigr)^{1008} = I\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se despeja como siempre, con cuidado del lado por el que entra la inversa:

A\,X = 2A - B \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\bigl(2A - B\bigr)

En b) el exponente

2016

es una señal clara: hay que calcular

B^{2}

y buscar un patrón. Aquí sale

B^{2} = I

—la matriz es involutiva— y entonces las potencias solo dependen de la paridad del exponente.

Desarrollo

a) Determinante e inversa de $A$ . Desarrollando por la segunda fila (dos ceros):

|A| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ -2 & 1\end{array}\right| = -1 + 2 = 1 \neq 0

Adjuntos.

A_{11} = 1, \quad A_{12} = 0, \quad A_{13} = 2

A_{21} = 0, \quad A_{22} = 1, \quad A_{23} = -1

A_{31} = -1, \quad A_{32} = 0, \quad A_{33} = -1

La inversa es la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida entre

|A| = 1

\;A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\bigl(\operatorname{Adj}A\bigr)^{t}

A^{-1} = \begin{pmatrix} \phantom{-}1 & \phantom{-}0 & -1 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}2 & -1 & -1\end{pmatrix}

(Comprobación: $A\,A^{-1} = I$ .)

El término independiente.

2A - B = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -4 & 2 & 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 & 3 & 2 \\ -8 & 7 & 4 \\ 8 & -6 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-1}1 & -1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-1}8 & -5 & -4 \\ -12 & \phantom{-}8 & \phantom{-}5\end{pmatrix}

La solución.

X = A^{-1}\bigl(2A - B\bigr) = \begin{pmatrix} 13 & -9 & -5 \\ \phantom{1}8 & -5 & -4 \\ \phantom{1}6 & -5 & -1\end{pmatrix}

Comprobación:

\;A\,X + B = 2A\;\checkmark

b) Las potencias de $B$ .

B^{2} = \begin{pmatrix} -3 & 3 & 2 \\ -8 & 7 & 4 \\ 8 & -6 & -3\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = I

$B$ es involutiva, así que sus potencias solo toman dos valores:

B^{n} = \begin{cases} I & \text{si } n \text{ es par} \\ B & \text{si } n \text{ es impar}\end{cases}

Como

2016

es par:

B^{2016} = \bigl(B^{2}\bigr)^{1008} = I^{1008} = I

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Un exponente enorme como $2016$ nunca se calcula multiplicando: es una invitación a buscar un patrón. Calcula $B^{2}$ y, si sale $I$ (o algo muy simple), el resto es mirar la paridad del exponente.

En a), $A^{-1}$ entra por la izquierda, porque $A$ multiplica a $X$ por la izquierda. Escribir $X = (2A-B)A^{-1}$ da otra matriz distinta.

Y ojo con $2A - B$ : hay que multiplicar $A$ por $2$ elemento a elemento antes de restar. No es lo mismo que $2(A - B)$ .