Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2019 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Dadas las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & m & 1 \\ m-1 & m & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ k\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Estudia el rango de

A

según los valores de

m

.

b) [1,25 puntos] Sabiendo que para

m = 1

el sistema dado por

A\,X = B

tiene solución, encuentra

k

y resuélvelo.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = -(m-1)^{2}; \qquad \operatorname{rg}(A) = 3 \text{ si } m \neq 1, \quad \operatorname{rg}(A) = 2 \text{ si } m = 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad \text{Con } m=1, \text{ el orlado vale } k \;\Longrightarrow\; k = 0\;}

\boxed{\;(x,y,z) = (-1-t,\; 1,\; t), \qquad t\in\mathbb{R}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), el determinante se factoriza y resulta tener una raíz doble: solo hay un valor conflictivo. Además, para justificar que el rango baja exactamente a

2

(y no más) hay que exhibir un menor de orden 2 no nulo en ese caso.

En b) el planteamiento es al revés de lo habitual: se sabe que hay solución y hay que averiguar el valor de

k

que lo permite. Como con

m=1

el rango de

A

2

, la compatibilidad exige que el rango de la ampliada sea también

2

, es decir, que el menor orlado con la columna de

B

se anule. Eso es una ecuación en

k

Desarrollo

a) Determinante. Desarrollando por la tercera columna (tiene un cero):

|A| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} m-1 & m \\ 1 & 1\end{array}\right| - 0 + 1\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & m \\ m-1 & m\end{array}\right|

= \bigl[(m-1) - m\bigr] + \bigl[m - m(m-1)\bigr] = -1 + \bigl(m - m^{2} + m\bigr)

= -m^{2} + 2m - 1 = -\bigl(m^{2} - 2m + 1\bigr) = -(m-1)^{2}

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 1 \quad (\text{raíz doble})

Rango.

Si $m \neq 1$ : $|A| \neq 0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A) = 3$ .
Si $m = 1$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}

La tercera fila es idéntica a la primera. El menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1 \neq 0

garantiza que

\operatorname{rg}(A) = 2

b) Caso $m = 1$ : valor de $k$ . El sistema es

\begin{cases} x + y + z = 0 \\ \phantom{x + {}}y \phantom{{}+ z} = 1 \\ x + y + z = k\end{cases}

La primera y la tercera ecuación tienen los mismos coeficientes: para que el sistema tenga solución deben tener también el mismo término independiente.

k = 0

(Formalmente, orlando el menor no nulo con la columna $B$ :

\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k\end{array}\right| = 1\,(k - 1) - 1\,(0 - 1) + 0 = k - 1 + 1 = k

que debe anularse: $k = 0$ .)

Resolución. Con

k=0

, la tercera ecuación es redundante y queda

\begin{cases} x + y + z = 0 \\ y = 1\end{cases}

Sustituyendo

y = 1

y tomando

z = t

como parámetro:

x = -y - z = -1 - t

(x, y, z) = \bigl(-1 - t,\; 1,\; t\bigr), \qquad t \in \mathbb{R}

Comprobación:

\;(-1-t) + 1 + t = 0\;\checkmark

en la primera y en la tercera, y

y = 1\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Una raíz doble del determinante no significa que el rango baje a $1$ : hay que comprobarlo exhibiendo un menor de orden 2 no nulo. Aquí el rango es $2$ para $m=1$ , y sin ese menor la respuesta queda sin justificar.

En b), el enunciado da la vuelta al planteamiento habitual: en vez de "discute", dice "sabiendo que tiene solución, encuentra $k$ ". Traducido: impón $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*})$ , es decir, que el menor orlado se anule.

Y fíjate en la estructura antes de calcular: la primera y la tercera ecuación tienen los mismos coeficientes, así que $k$ tiene que coincidir con $0$ . Ver eso ahorra el determinante entero.