Sistemas de ecuaciones

Matrices del sistema.$$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1+a & -a \end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} a & 1 & 1 & 1+a \\ 1 & 2 & -1 & 1-a \\ 1 & 1+a & -a & 0 \end{array}\right)$$a) El determinante. Desarrollando por la primera fila:$$|A| = a\bigl[2(-a) - (-1)(1+a)\bigr] - 1\bigl[1(-a) - (-1)(1)\bigr] + 1\bigl[1(1+a) - 2\cdot 1\bigr]$$$$= a\bigl(-2a + 1 + a\bigr) - \bigl(-a+1\bigr) + \bigl(a - 1\bigr) = a(1-a) + a - 1 + a - 1$$$$= a - a^{2} + 2a - 2 = -a^{2} + 3a - 2 = -\,(a-1)(a-2)$$Los valores críticos son $a=1$ y $a=2$; para cualquier otro, $|A| \neq 0$ y el sistema es compatible determinado.

Caso $a=1$. El sistema queda$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + 2y - z = 0 \\ x + 2y - z = 0 \end{cases}$$La segunda y la tercera ecuación son idénticas (también en el término independiente), luego una es redundante:$$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3$$(el menor $\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right| = 1 \neq 0$ da rango $2$). El sistema es compatible indeterminado.

Caso $a=2$. El sistema queda$$\begin{cases} 2x + y + z = 3 \\ x + 2y - z = -1 \\ x + 3y - 2z = 0 \end{cases}$$Aquí $\operatorname{rg}(A) = 2$ (el menor $\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right| = 3 \neq 0$), pero la tercera fila de $A$ sí es combinación de las otras dos ($F_{3} = -\frac{1}{3}F_{1} + \frac{5}{3}F_{2}$) mientras que los términos independientes no la respetan: esa combinación daría $-\frac{1}{3}\cdot 3 + \frac{5}{3}\cdot(-1) = -\frac{8}{3} \neq 0$. Luego $\operatorname{rg}(A^{*}) = 3 > 2$ y el sistema es incompatible.

Conclusión del apartado a):$$\text{compatible indeterminado} \;\Longleftrightarrow\; a = 1$$b) Resolución para $a = 0$. Como $|A| = -(0-1)(0-2) = -2 \neq 0$, el sistema es compatible determinado. Sustituyendo $a=0$:$$\begin{cases} y + z = 1 \\ x + 2y - z = 1 \\ x + y = 0 \end{cases}$$De la tercera, $x = -y$. De la primera, $z = 1 - y$. Llevando ambas a la segunda:$$-y + 2y - (1-y) = 1 \;\Longrightarrow\; 2y - 1 = 1 \;\Longrightarrow\; y = 1$$$$x = -1, \qquad z = 1 - 1 = 0$$Comprobación. $y+z = 1+0 = 1$ ✓; $x+2y-z = -1+2-0 = 1$ ✓; $x + y = -1+1 = 0$ ✓.