Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2021 · Junio

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima

10

kg de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan

50

gramos, para cada garrafa

100

gramos y

1

kg para cada bidón.

El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total

52

productos cada hora.

¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?

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Resultado

\boxed{\;\text{Se producen } 30 \text{ botellas}, \quad 15 \text{ garrafas} \quad \text{y} \quad 7 \text{ bidones cada hora}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Problema de planteamiento con una trampa de unidades: el consumo total viene en kilogramos y los consumos unitarios en gramos (salvo el del bidón, que vuelve a estar en kilos). Antes de escribir nada hay que pasarlo todo a la misma unidad.

Con las unidades unificadas, las tres frases dan las tres ecuaciones y el sistema se resuelve por sustitución sin necesidad de Gauss ni Cramer.

Desarrollo

Unificación de unidades. Pasamos todo a gramos:

10 \ \text{kg} = 10\,000 \ \text{g}, \qquad 1 \ \text{kg (bidón)} = 1\,000 \ \text{g}

Incógnitas.

x

= botellas,

y

= garrafas,

z

= bidones producidos cada hora.

Ecuaciones.

\begin{cases} 50x + 100y + 1000z = 10\,000 & \text{(consumo de polietileno, en gramos)} \\ x = 2y & \text{(el doble de botellas que de garrafas)} \\ x + y + z = 52 & \text{(total de productos)} \end{cases}

Dividiendo la primera entre

50

x + 2y + 20z = 200

Resolución. Sustituyendo

x = 2y

en la tercera ecuación:

2y + y + z = 52 \;\Longrightarrow\; z = 52 - 3y

Y llevando

x = 2y

z = 52 - 3y

a la primera:

2y + 2y + 20\,(52 - 3y) = 200

4y + 1040 - 60y = 200 \;\Longrightarrow\; -56y = -840 \;\Longrightarrow\; y = 15

x = 2 \cdot 15 = 30, \qquad z = 52 - 45 = 7

Comprobación.

50\cdot 30 + 100\cdot 15 + 1000\cdot 7 = 1\,500 + 1\,500 + 7\,000 = 10\,000 \ \text{g} = 10 \ \text{kg} \quad \checkmark

30 = 2\cdot 15 \quad \checkmark \qquad\qquad 30 + 15 + 7 = 52 \quad \checkmark

(Las tres cantidades son enteras y positivas, como debe ser al tratarse de productos fabricados.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Unifica las unidades antes de plantear: $10$ kg de materia prima frente a consumos de $50$ g, $100$ g y $1$ kg. Si escribes $50x + 100y + z = 10$ mezclando gramos y kilos, el sistema es coherente algebraicamente pero describe otra cosa, y los números salen absurdos (fracciones donde deberían salir enteros).

Un buen control final en los problemas de producción: las soluciones deben ser enteras y no negativas. Si te salen decimales, casi siempre es que se ha colado un error de unidades o de transcripción.