Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2014 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl} x-\phantom{2}y+\phantom{2}m z & = & 0 \\ m x+2y+\phantom{2m}z & = & 0 \\ -x+\phantom{2}y+2m z & = & 0\end{array}\right\}

a) [0,75 puntos] Halla los valores del parámetro

m

para los que el sistema tiene una única solución.

b) [1 punto] Halla los valores del parámetro

m

para los que el sistema tiene alguna solución distinta de la solución nula.

c) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para

m = -2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = 3m^{2}+6m = 3m\,(m+2)\;}

\boxed{\;\text{a) Solución única} \iff m \neq 0 \ \text{ y } \ m \neq -2 \quad (\text{solo la trivial})\;}

\boxed{\;\text{b) Soluciones no nulas} \iff m = 0 \ \text{ o } \ m = -2\;}

\boxed{\;\text{c) } m = -2: \quad (x,y,z) = (t,\, t,\, 0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El sistema es homogéneo: siempre compatible, y la solución trivial

(0,0,0)

está siempre. Todo se reduce al determinante:

\det M \neq 0 \;\Longrightarrow\; \text{solución única (la trivial)}

\det M = 0 \;\Longrightarrow\; \text{infinitas soluciones, incluidas las no nulas}

Así que a) y b) son complementarios: exactamente los valores que no valen para uno son los del otro.

Desarrollo

El determinante.

\det M = \begin{vmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2m\end{vmatrix}

Desarrollando por la primera fila:

= 1\,(4m-1)+1\,(2m^{2}+1)+m\,(m+2)

= 4m-1+2m^{2}+1+m^{2}+2m = 3m^{2}+6m

\det M = 3m\,(m+2) = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \quad \text{o} \quad m = -2

a) Solución única.

\det M \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; m \neq 0 \ \text{ y } \ m \neq -2

(La única solución es entonces la trivial $(0,0,0)$ .)

b) Alguna solución distinta de la nula. Justo lo contrario:

m = 0 \quad \text{o} \quad m = -2

En ambos casos

\operatorname{rg}M = 2 < 3

y hay infinitas soluciones (una recta de soluciones).

c) Resolución para $m = -2$ . El sistema queda

\begin{cases} \phantom{-2}x-y-2z = 0 \\ -2x+2y+\phantom{2}z = 0 \\ -\phantom{2}x+y-4z = 0\end{cases}

De la primera:

\;x-y = 2z

. De la tercera:

\;-x+y = 4z

, es decir,

\;x-y = -4z

2z = -4z \;\Longrightarrow\; 6z = 0 \;\Longrightarrow\; z = 0

Con

z=0

, la primera da

x = y

, y la segunda (

-2x+2y = 0

) se cumple automáticamente.

(x,\,y,\,z) = (t,\; t,\; 0), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación.

\;t-t-0 = 0\;\checkmark

;

\;-2t+2t+0 = 0\;\checkmark

;

\;-t+t-0 = 0\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En un sistema homogéneo, "solución única" significa solo la trivial. No confundas "única solución" con "solución no nula": son exactamente los casos opuestos, y por eso a) y b) se responden con el mismo determinante.

Nunca escribas "incompatible" en un sistema homogéneo: la terna $(0,0,0)$ siempre lo satisface.

En c), combinar la primera y la tercera ecuación da $z=0$ de inmediato. Buscar esa combinación antes de ponerse a triangular ahorra la mitad del trabajo.