Ejercicio 5 (bloque con optatividad 2). Sean las matrices A = \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} a) [1,5 puntos] Determina a y b para que A^{2} = 4I, donde I es la matriz identidad de orden 2. b) [1 punto] Para a = -1 y b = 1, calcula, si es posible, la matriz X que cumple A^{2}X = B^{t}.

Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

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Enunciado

Ejercicio 5 (bloque con optatividad 2). Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

a) [1,5 puntos] Determina

a

b

para que

A^{2} = 4I

, donde

I

es la matriz identidad de orden

2

.

b) [1 punto] Para

a = -1

b = 1

, calcula, si es posible, la matriz

X

que cumple

A^{2}X = B^{t}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad a = -1, \qquad b = 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad X = \frac{1}{4}B^{t} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\[4pt] \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se multiplica

A

por sí misma, se iguala entrada a entrada con

4I

y sale un sistema pequeño. Conviene empezar por la ecuación más sencilla (la que solo tiene

a

), no por la primera que aparezca.

En b) está la gracia del ejercicio: no hace falta calcular

A^{2}

ni invertir nada. Los valores

a=-1

b=1

son justo los del apartado anterior, así que

A^{2} = 4I

y la ecuación se convierte en

4X = B^{t}

, que se resuelve dividiendo entre

4

. Antes conviene comprobar que las dimensiones encajan.

Desarrollo

a) Imponer $A^{2} = 4I$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & 3 \\ b & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^{2} + 3b & 3a + 3 \\ ab + b & 3b + 1 \end{pmatrix}

Igualando a

4I = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix}

obtenemos cuatro ecuaciones:

\begin{cases} a^{2} + 3b = 4 \\ 3a + 3 = 0 \\ ab + b = 0 \\ 3b + 1 = 4 \end{cases}

De la segunda,

a = -1

. De la cuarta,

b = 1

. Comprobamos que las otras dos se cumplen con esos valores:

a^{2} + 3b = 1 + 3 = 4 \qquad\qquad ab + b = b(a+1) = 1\cdot 0 = 0

Las cuatro se satisfacen a la vez.

Luego la única solución es

a = -1

b = 1

, y entonces

A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

b) Resolver $A^{2}X = B^{t}$ con $a=-1$ , $b=1$ .

Dimensiones:

B

3\times 2

, así que

B^{t}

2\times 3

. Como

A^{2}

2\times 2

, la matriz

X

debe ser

2\times 3

para que el producto tenga sentido y dé algo

2\times 3

.

Por el apartado anterior, con esos valores

A^{2} = 4I

, de modo que la ecuación es

4I\,X = B^{t} \;\Longrightarrow\; 4X = B^{t} \;\Longrightarrow\; X = \frac{1}{4}\,B^{t}

(Es legítimo despejar porque

A^{2} = 4I

es invertible:

|A^{2}| = 16 \neq 0

, con

(A^{2})^{-1} = \frac{1}{4}I

.)

Trasponiendo

B

B^{t} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\[4pt] \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}

Comprobación.

A^{2}X = 4I\cdot\frac{1}{4}B^{t} = B^{t}

✓.

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Consejo

En b), usa lo que ya sabes: con $a=-1$ y $b=1$ estás justo en el caso del apartado a), así que $A^{2}=4I$ y no hace falta ni multiplicar ni invertir. Quien no se da cuenta acaba calculando $(A^{2})^{-1}$ a mano y perdiendo cinco minutos.

Y cuidado con las dimensiones: $X$ es $2\times 3$ , no cuadrada. Además, en ecuaciones matriciales el orden importa: de $A^{2}X = B^{t}$ se despeja $X = (A^{2})^{-1}B^{t}$ multiplicando por la izquierda, nunca $B^{t}(A^{2})^{-1}$ .