Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2023 · Reserva 2

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} m+1 & 1 & m-1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m-1 & 1 & m+1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

a) [1 punto] Calcula

m

para que la matriz

A

tenga inversa.

b) [1,5 puntos] Para

m = 0

, resuelve, si es posible, la ecuación matricial

\dfrac{1}{2}AX + C^{4} = B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = 4(m-1); \quad \text{existe } A^{-1} \Longleftrightarrow m \neq 1\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad C^{4} = I, \qquad X = 2A^{-1}(B - I) = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 4 \\ 1 & 6 & 2 \\ 1 & -5 & 2 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), el determinante se simplifica muchísimo con una resta de filas: la primera y la tercera se diferencian solo en las posiciones extremas, así que

F_{1} - F_{3}

deja dos ceros.

En b) hay un regalo escondido:

C

es la matriz de la permutación que intercambia la primera y la tercera coordenada, así que

C^{2} = I

y, por tanto,

C^{4} = I

. Calcular

C^{4}

multiplicando cuatro veces es perder el tiempo; verlo de golpe ahorra medio ejercicio.

Después, despeje estándar: la incógnita

X

está a la derecha de

A

, luego se multiplica por

A^{-1}

por la izquierda.

Desarrollo

a) Determinante. Restamos la tercera fila a la primera,

F_{1} \to F_{1} - F_{3}

(no altera el determinante):

|A| = \left|\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ m-1 & 1 & m+1 \end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 2\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & m+1 \end{array}\right| - 0 + (-2)\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ m-1 & 1 \end{array}\right| = 2\,m - 2\bigl(1 - (m-1)\bigr)

= 2m - 2\,(2 - m) = 2m - 4 + 2m = 4m - 4 = 4\,(m - 1)

|A| \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; m \neq 1

b) Caso $m = 0$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |A| = 4\,(0 - 1) = -4 \neq 0

La potencia de $C$ .

C

intercambia la primera y la tercera fila al multiplicar por la izquierda, así que aplicarla dos veces devuelve todo a su sitio:

C^{2} = I \;\Longrightarrow\; C^{4} = \bigl(C^{2}\bigr)^{2} = I^{2} = I

Despeje.

\frac{1}{2}AX + I = B \;\Longrightarrow\; \frac{1}{2}AX = B - I \;\Longrightarrow\; AX = 2\,(B - I) \;\Longrightarrow\; X = 2\,A^{-1}(B - I)

B - I = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}, \qquad 2\,(B - I) = \begin{pmatrix} -2 & 8 & 4 \\ 0 & -2 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix}

Inversa de $A$ . Con

|A| = -4

, la matriz adjunta traspuesta es

\operatorname{adj}(A)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \frac{1}{-4}\begin{pmatrix} 0 & -2 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \\ 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Producto final.

X = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 8 & 4 \\ 0 & -2 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 4 \\ 1 & 6 & 2 \\ 1 & -5 & 2 \end{pmatrix}

(Primera entrada: $\frac{1}{2}\bigl(0\cdot(-2) + 1\cdot 0 + (-1)\cdot 4\bigr) = -2$ .)

Comprobación.

\frac{1}{2}AX = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -2 & 8 & 4 \\ 0 & -2 & 8 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 \\ 0 & -1 & 4 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix} = B - I \quad \checkmark

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Consejo

Antes de elevar $C$ a la cuarta, mírala: es una matriz de permutación (la identidad con dos filas cambiadas). Cualquier intercambio simple cumple $C^{2} = I$ , así que las potencias pares dan $I$ y las impares, $C$ . Multiplicar cuatro matrices para llegar a la identidad es tiempo regalado.

Y cuidado con el $\frac{1}{2}$ : al despejar hay que multiplicar los dos miembros por $2$ , no solo el término de $X$ . Si escribes $AX = B - I$ en vez de $AX = 2(B-I)$ , la matriz que sale es exactamente la mitad de la correcta y la comprobación final falla.