Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2020 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 7. Siendo

\lambda

un número real, considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

\begin{cases} \phantom{2}x + \lambda y = \phantom{2}2 \\ 2x + \phantom{\lambda}4y = \phantom{2}1 \\ \lambda x + \phantom{4}y = 2\lambda \end{cases}

Discútelo según los valores de

\lambda

y resuélvelo cuando sea posible.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\bigl|A^{*}\bigr| = -3(\lambda-1)(\lambda+1)\;}

\boxed{\;\lambda \neq \pm 1: \textbf{ incompatible}\;}

\boxed{\;\lambda = 1: \; \left(\tfrac{7}{2},\, -\tfrac{3}{2}\right); \qquad \lambda = -1: \; \left(\tfrac{3}{2},\, -\tfrac{1}{2}\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Aquí hay tres ecuaciones y solo dos incógnitas, lo que cambia el planteamiento habitual:

La matriz de coeficientes $A$ es $3\times 2$ , así que $\operatorname{rg}(A) \leq 2$ .
La ampliada $A^{*}$ es $3\times 3$ y sí tiene determinante.

Por Rouché–Frobenius, el sistema es compatible solo si

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*})

. Como el rango de

A

no puede pasar de

2

, si

|A^{*}| \neq 0

entonces

\operatorname{rg}(A^{*}) = 3 > \operatorname{rg}(A)

y el sistema es incompatible.

Así que la condición de compatibilidad es, sencillamente,

|A^{*}| = 0

: el determinante de la ampliada. Y como habrá dos incógnitas con rango

2

, cuando sea compatible será determinado.

Desarrollo

Determinante de la matriz ampliada.

\bigl|A^{*}\bigr| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \lambda & 2 \\ 2 & 4 & 1 \\ \lambda & 1 & 2\lambda \end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 1\,\bigl(4\cdot 2\lambda - 1\cdot 1\bigr) - \lambda\,\bigl(2\cdot 2\lambda - 1\cdot\lambda\bigr) + 2\,\bigl(2\cdot 1 - 4\lambda\bigr)

= (8\lambda - 1) - \lambda\,(4\lambda - \lambda) + 2\,(2 - 4\lambda)

= 8\lambda - 1 - 3\lambda^{2} + 4 - 8\lambda = -3\lambda^{2} + 3 = -3\,(\lambda - 1)(\lambda + 1)

\bigl|A^{*}\bigr| = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 1 \quad \text{o} \quad \lambda = -1

Caso 1: $\lambda \neq \pm 1$ . Entonces

\operatorname{rg}(A^{*}) = 3

, mientras que

\operatorname{rg}(A) \leq 2

. Como los rangos no coinciden, el sistema es incompatible.

Caso 2: $\lambda = 1$ . El sistema queda

\begin{cases} \phantom{2}x + \phantom{4}y = 2 \\ 2x + 4y = 1 \\ \phantom{2}x + \phantom{4}y = 2 \end{cases}

La tercera ecuación es idéntica a la primera. El menor de las dos primeras filas,

\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 4\end{array}\right| = 2 \neq 0

\operatorname{rg}(A) = 2 = \operatorname{rg}(A^{*})

= número de incógnitas: compatible determinado.

Resolviendo con las dos primeras: de

x = 2 - y

2\,(2-y) + 4y = 1 \;\Longrightarrow\; 4 + 2y = 1 \;\Longrightarrow\; y = -\frac{3}{2}, \qquad x = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}

(Y la tercera se cumple: $\frac{7}{2} - \frac{3}{2} = 2\;\checkmark$ )

Caso 3: $\lambda = -1$ . El sistema queda

\begin{cases} \phantom{-2}x - \phantom{4}y = \phantom{-}2 \\ \phantom{-}2x + 4y = \phantom{-}1 \\ -\phantom{2}x + \phantom{4}y = -2 \end{cases}

La tercera ecuación es la primera cambiada de signo (incluido el término independiente), así que tampoco aporta información. Igual que antes,

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2

: compatible determinado.

De

x = 2 + y

2\,(2+y) + 4y = 1 \;\Longrightarrow\; 4 + 6y = 1 \;\Longrightarrow\; y = -\frac{1}{2}, \qquad x = \frac{3}{2}

(Comprobación en la tercera: $-\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -2\;\checkmark$ )

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con más ecuaciones que incógnitas, lo normal es que el sistema sea incompatible, y solo se salva para los valores del parámetro que anulan el determinante de la ampliada. Fíjate en que aquí el papel de los determinantes se invierte respecto de los sistemas $3\times 3$ : el que hay que anular es el de $A^{*}$ , no el de $A$ .

Y una vez comprobada la compatibilidad, resuelve con dos ecuaciones cualesquiera que den un menor no nulo, y usa la tercera como comprobación. Es gratis y confirma que la discusión estaba bien hecha.