Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2021 · Julio

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Comprueba que

A^{2} = -A^{-1}

.

b) [1,25 puntos] Dadas las matrices

B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

calcula la matriz

X

que verifica

A^{4}X + B = A\,C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad A^{3} = -I \;\Longrightarrow\; A^{-1} = -A^{2} \;\Longleftrightarrow\; A^{2} = -A^{-1}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A^{4} = -A, \qquad X = -A^{2}B - C = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 6 & -21 \\ -3 & 15 \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado a) parece pedir dos cálculos pesados (

A^{2}

A^{-1}

), pero se reduce a uno solo si se reescribe la condición. Multiplicando por

A

A^{2} = -A^{-1} \;\Longleftrightarrow\; A^{3} = -A^{-1}A = -I

Así que basta comprobar que

A^{3} = -I

, sin calcular ninguna inversa.

Y esa relación es la llave del apartado b): permite reducir

A^{4}

a algo trivial,

A^{4} = A^{3}\cdot A = -I\cdot A = -A

de modo que la ecuación matricial, que parecía terrible, se convierte en una del tipo más simple.

Desarrollo

a) Cálculo de $A^{2}$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}

(Primera fila, entrada a entrada: $\;0\cdot 0 + 3\cdot 1 + 4\cdot(-1) = -1$ ; $\;0\cdot 3 + 3\cdot(-4) + 4\cdot 3 = 0$ ; $\;0\cdot 4 + 3\cdot(-5) + 4\cdot 4 = 1$ .)

Cálculo de $A^{3}$ .

A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = -I

Conclusión. De

A\cdot A^{2} = -I

se sigue que

A

es invertible y que

A^{-1} = -A^{2} \;\Longleftrightarrow\; A^{2} = -A^{-1} \quad \checkmark

(Que $A$ sea invertible también se deduce de $|A|^{3} = |{-I}| = -1$ , luego $|A| = -1 \neq 0$ .)

b) Reducción de $A^{4}$ .

A^{4} = A^{3}\cdot A = (-I)\,A = -A

La ecuación se convierte en

-A\,X + B = A\,C \;\Longrightarrow\; -A\,X = A\,C - B \;\Longrightarrow\; A\,X = B - A\,C

X = A^{-1}\bigl(B - A\,C\bigr) = A^{-1}B - A^{-1}A\,C = A^{-1}B - C

Y usando

A^{-1} = -A^{2}

X = -A^{2}B - C

Cálculo de $A^{2}B$ .

A^{2}B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -3 & 19 \\ 2 & -14 \end{pmatrix}

(Primera entrada: $(-1)(1) + 0\cdot 3 + 1\cdot(-4) = -5$ .)

Resultado final.

X = -\begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -3 & 19 \\ 2 & -14 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 3 & -19 \\ -2 & 14 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 6 & -21 \\ -3 & 15 \end{pmatrix}

Comprobación. Como

A^{4}X + B = -A\,X + B

, basta calcular

A\,X = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -6 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; -A\,X + B = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 9 & -3 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}

y en efecto coincide con

A\,C = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 9 & -3 \\ -7 & 2 \end{pmatrix}\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a), no calcules $A^{-1}$ por adjuntos para luego comparar: multiplica la condición por $A$ y verás que equivale a $A^{3} = -I$ , que es un solo producto más. Es el mismo resultado con la tercera parte del trabajo.

Y aprovecha esa relación en b): $A^{4} = -A$ convierte una ecuación con una potencia cuarta en una del tipo $AX = D$ . Calcular $A^{4}$ multiplicando cuatro veces es perfectamente posible, pero regala diez minutos de examen y multiplica las ocasiones de equivocarse.