Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2016 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Sea la matriz

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 4\end{pmatrix}

.

a) [1,75 puntos] Estudia, según los valores de

\lambda

, el rango de la matriz

A - \lambda I

, siendo

I

la matriz identidad de orden tres.

b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema dado por

(A-2I)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)\bigl[(1-\lambda)(4-\lambda)+2\bigr] = -(\lambda-2)^{2}(\lambda-3)\;}

\boxed{\;\text{a) } \operatorname{rango} = 3 \text{ si } \lambda\neq 2,3; \qquad \operatorname{rango} = 2 \text{ si } \lambda = 2 \text{ o } \lambda = 3\;}

\boxed{\;\text{b) } (A-2I)X = 0 \;\Longrightarrow\; y = z = 0, \ x \text{ libre}: \quad (x,y,z) = (t,\,0,\,0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Rango de una matriz

3\times 3

con parámetro: primero el determinante.

Si $\det \neq 0$ , el rango es $3$ .
Donde $\det = 0$ , hay que bajar a los menores de orden 2 para decidir si el rango es $2$ o menos.

El determinante se calcula muy cómodo aquí porque la primera columna tiene dos ceros.

En b) el sistema es homogéneo, así que siempre es compatible; que

\lambda = 2

anule el determinante garantiza que hay infinitas soluciones.

Desarrollo

La matriz $A-\lambda I$ .

A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & -1 \\ 0 & 2 & 4-\lambda\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera columna:

\det(A-\lambda I) = (2-\lambda)\begin{vmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 2 & 4-\lambda\end{vmatrix} = (2-\lambda)\bigl[(1-\lambda)(4-\lambda)+2\bigr]

= (2-\lambda)\bigl(\lambda^{2}-5\lambda+6\bigr) = (2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-3) = -(\lambda-2)^{2}(\lambda-3)

\det(A-\lambda I) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 2 \ (\text{doble}) \quad \text{o} \quad \lambda = 3

a) Discusión del rango.

Caso $\lambda \neq 2$ y $\lambda \neq 3$ : el determinante no es nulo.

\operatorname{rango}(A-\lambda I) = 3

Caso $\lambda = 2$ :

A-2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 2\end{pmatrix}

Hay un menor de orden

2

no nulo:

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1\end{vmatrix} = -1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rango} = 2

(La tercera fila es $-2$ veces la segunda; solo hay dos filas independientes.)

Caso $\lambda = 3$ :

A-3I = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}

\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2\end{vmatrix} = 2 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rango} = 2

(Aquí la tercera fila es la opuesta de la segunda.)

\operatorname{rango}(A-\lambda I) = \begin{cases} 3 & \text{si } \lambda \neq 2,\,3 \\ 2 & \text{si } \lambda = 2 \text{ o } \lambda = 3\end{cases}

b) El sistema homogéneo con $\lambda = 2$ .

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} y = 0 \\ -y - z = 0 \\ 2y + 2z = 0\end{cases}

De la primera,

y = 0

; llevándolo a la segunda,

z = -y = 0

; la tercera es consecuencia de la segunda. La incógnita

x

no aparece: queda libre.

\operatorname{rg}(A-2I) = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{compatible indeterminado (1 parámetro)}

(x,\, y,\, z) = (t,\, 0,\, 0), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación. Para

t=1

: la primera fila da

0

, la segunda

0

, la tercera

0

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que $\lambda = 2$ sea raíz doble no significa que el rango baje a $1$ . Hay que comprobar los menores de orden $2$ uno por uno: aquí el rango es $2$ en los dos casos.

Un sistema homogéneo nunca es incompatible: siempre tiene al menos la solución trivial. La pregunta real es si hay más soluciones, y eso lo decide el rango.

Fíjate en que la incógnita $x$ no aparece en ninguna ecuación: la primera columna de $A-2I$ es nula. Ese es exactamente el grado de libertad del sistema.