Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera

A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & \phantom{-}0 \\ -2 & \phantom{-}1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -2\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}

a) [1 punto] Determina los valores de

\lambda

para los que la matriz

A + \lambda I

no tiene inversa (

I

es la matriz identidad).

b) [1,5 puntos] Resuelve

A\,X = -3X

. Determina, si existe, alguna solución con

x = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A + \lambda I| = (\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+2) \;\Longrightarrow\; \text{sin inversa si } \lambda = -2,\, 2,\, 3\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A\,X = -3X \Longleftrightarrow (A + 3I)X = 0; \qquad (x,y,z) = (2t,\, t,\, 0)\;}

\boxed{\;\text{Con } x = 1: \quad \left(1,\; \tfrac12,\; 0\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) hay que sumar

\lambda

a la diagonal (no a todos los elementos), calcular el determinante y buscar sus raíces. La última fila y la última columna solo tienen un elemento no nulo, así que el desarrollo es directo.

En b), la ecuación

A\,X = -3X

se reescribe como

A\,X + 3X = 0 \;\Longrightarrow\; \bigl(A + 3I\bigr)X = 0

un sistema homogéneo cuya matriz es justo

A+\lambda I

con

\lambda = 3

: uno de los valores críticos de a). Por eso tendrá infinitas soluciones.

Desarrollo

a) La matriz $A + \lambda I$ .

A + \lambda I = \begin{pmatrix} -2+\lambda & -2 & 0 \\ -2 & 1+\lambda & 0 \\ 0 & 0 & -2+\lambda\end{pmatrix}

Determinante, desarrollando por la tercera fila (solo un elemento no nulo):

|A + \lambda I| = (\lambda - 2)\cdot\left|\begin{array}{cc} \lambda - 2 & -2 \\ -2 & \lambda+1\end{array}\right|

= (\lambda-2)\bigl[(\lambda-2)(\lambda+1) - 4\bigr] = (\lambda-2)\bigl(\lambda^{2} - \lambda - 6\bigr)

= (\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+2)

|A + \lambda I| = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 2, \quad \lambda = 3 \quad \text{o} \quad \lambda = -2

A + \lambda I \text{ no tiene inversa para } \lambda \in \{-2,\, 2,\, 3\}

b) La ecuación $A\,X = -3X$ . Pasando todo a un lado:

A\,X + 3X = 0 \;\Longrightarrow\; \bigl(A + 3I\bigr)X = 0

A + 3I = \begin{pmatrix} \phantom{-}1 & -2 & 0 \\ -2 & \phantom{-}4 & 0 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & 1\end{pmatrix}

El sistema.

\begin{cases} \phantom{-2}x - 2y \phantom{{}+ z} = 0 \\ -2x + 4y \phantom{{}+ z} = 0 \\ \phantom{-2x + 4y +} z = 0\end{cases}

La segunda ecuación es la primera multiplicada por

-2

: sobra. Quedan

x = 2y, \qquad z = 0

(x, y, z) = \bigl(2t,\; t,\; 0\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

(Coherente con el apartado a): $\lambda = 3$ anula el determinante, así que $\operatorname{rg}(A+3I) = 2$ y hay un parámetro.)

Solución con $x = 1$ .

2t = 1 \;\Longrightarrow\; t = \frac12 \;\Longrightarrow\; (x,y,z) = \left(1,\; \frac12,\; 0\right)

Comprobación.

A\begin{pmatrix} 1 \\ \tfrac12 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 1 \\ -2 + \tfrac12 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -\tfrac32 \\ 0\end{pmatrix} = -3\begin{pmatrix} 1 \\ \tfrac12 \\ 0\end{pmatrix} \quad \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$A + \lambda I$ suma $\lambda$ solo en la diagonal. Sumárselo a todos los elementos es el error clásico y estropea el determinante desde el primer paso.

En b), reescribe $A\,X = -3X$ como $\bigl(A+3I\bigr)X = 0$ : el $-3$ pasa como $+3I$ , no como un $3$ suelto. Y fíjate en que $\lambda = 3$ es precisamente una de las raíces de a): por eso el sistema es indeterminado y no solo tiene la solución trivial.

El enunciado dice "resuelve" y luego "si existe": la solución general $(2t,t,0)$ es lo principal, y la condición $x=1$ es solo ajustar el parámetro. Comprobar $A\,X = -3X$ al final valida las dos partes de golpe.