Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2018 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Considera las matrices

A = \begin{pmatrix} -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}0 & -1 \\ \phantom{-}0 & -1 & \phantom{-}0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ \phantom{-}1 & 0 & \phantom{-}1 \\ -1 & 2 & -2\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} \phantom{-}1 \\ -2 \\ \phantom{-}3\end{pmatrix} \quad \text{y} \quad D = \begin{pmatrix} 4 & -5 & 6\end{pmatrix}

Determina, si existe, la matriz

X

que verifica que

A^{2}X - B\,A + X = C\,D

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;A^{2} = I \;\Longrightarrow\; A^{2}X + X = 2X\;}

\boxed{\;2X = C\,D + B\,A \;\Longrightarrow\; X = \frac12\bigl(C\,D + B\,A\bigr)\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\ -\frac92 & \frac92 & -6 \\ \frac{13}{2} & -\frac{13}{2} & 8\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos observaciones ahorran casi todo el trabajo:

Las dimensiones cuadran: $C$ es $3\times 1$ y $D$ es $1\times 3$ , luego $C\,D$ es $3\times 3$ , igual que todo lo demás.
Al calcular $A^{2}$ aparece la identidad: $A^{2} = I$ . Entonces

A^{2}X + X = I\,X + X = 2X

y la ecuación se reduce a

2X = C\,D + B\,A

, es decir

X = \frac{1}{2}\bigl(C\,D + B\,A\bigr)

Sin inversas: basta multiplicar dos productos y dividir entre dos.

Desarrollo

Paso 1: $A^{2}$ .

A^{2} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = I

Paso 2: despejar $X$ .

A^{2}X - B\,A + X = C\,D \;\Longrightarrow\; X + X = C\,D + B\,A \;\Longrightarrow\; 2X = C\,D + B\,A

X = \frac{1}{2}\bigl(C\,D + B\,A\bigr)

Paso 3: el producto $C\,D$ (

3\times 1

por

1\times 3

C\,D = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -5 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-1}4 & \phantom{-1}{-5} & \phantom{-1}6 \\ \phantom{1}{-8} & \phantom{-1}10 & -12 \\ \phantom{-1}12 & -15 & \phantom{-1}18\end{pmatrix}

Paso 4: el producto $B\,A$ . Multiplicar por

A

por la derecha equivale a reordenar y cambiar signos de las columnas:

B\,A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}2 & \phantom{-}1 & -2 \\ -1 & -1 & \phantom{-}0 \\ \phantom{-}1 & \phantom{-}2 & -2\end{pmatrix}

Paso 5: la suma y la mitad.

C\,D + B\,A = \begin{pmatrix} \phantom{-1}6 & \phantom{-1}{-4} & \phantom{-1}4 \\ \phantom{1}{-9} & \phantom{-1}9 & -12 \\ \phantom{-1}13 & -13 & \phantom{-1}16\end{pmatrix}

X = \frac12\begin{pmatrix} 6 & -4 & 4 \\ -9 & 9 & -12 \\ 13 & -13 & 16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 2 \\[2pt] -\dfrac92 & \dfrac92 & -6 \\[4pt] \dfrac{13}{2} & -\dfrac{13}{2} & 8\end{pmatrix}

Comprobación. Con

A^{2} = I

A^{2}X - B\,A + X = 2X - B\,A = \bigl(C\,D + B\,A\bigr) - B\,A = C\,D \quad \checkmark

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Consejo

Calcula $A^{2}$ antes de despejar. Si sale la identidad —como aquí—, la ecuación se simplifica a $2X = \ldots$ y no hace falta ninguna inversa. Lanzarse a calcular $\bigl(A^{2}+I\bigr)^{-1}$ funciona igual, pero es mucho más trabajo (y $A^{2}+I = 2I$ , así que su inversa es $\tfrac12 I$ : el mismo resultado por el camino largo).

$C\,D$ es $3\times 3$ , no un número. El producto de una columna por una fila da una matriz completa; el producto en el orden contrario, $D\,C$ , daría un escalar $1\times 1$ . Mirar las dimensiones evita ese lío.

Y al sacar $X$ factor común en $A^{2}X + X$ , recuerda que hay que escribirlo como $\bigl(A^{2} + I\bigr)X$ : no se puede sumar la matriz $A^{2}$ con un $1$ suelto.