Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2024 · Julio

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque C). Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Halla todas las matrices

X

que cumplen

XA = -AX^{t}

X^{2} = I

, donde

I

es la matriz identidad de orden

2

.

b) [1,25 puntos] Halla todas las matrices

Y

que cumplen

YA = AY

, la suma de los elementos de su diagonal principal es cero y tienen determinante

-1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \quad\text{o}\quad X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad Y = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \quad\text{o}\quad Y = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Estas ecuaciones matriciales no se despejan: aparece

X^{t}

en un lado (así que no se puede pasar

A

al otro miembro) y hay condiciones cuadráticas. El método correcto es el de coeficientes indeterminados: escribir

X = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s\end{pmatrix}

hacer los productos, e igualar entrada a entrada. Sale un sistema de cuatro ecuaciones muy sencillas, y las condiciones extra (

X^{2}=I

, la traza, el determinante) se imponen al final sobre lo que haya quedado.

Multiplicar por

A = \operatorname{diag}(-1,1)

es cómodo: por la izquierda cambia el signo de la primera fila; por la derecha, el de la primera columna.

Desarrollo

a) La ecuación $XA = -AX^{t}$ . Con

X = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s\end{pmatrix}

XA = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -p & q \\ -r & s\end{pmatrix}

X^{t} = \begin{pmatrix} p & r \\ q & s\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; AX^{t} = \begin{pmatrix} -p & -r \\ q & s\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; -AX^{t} = \begin{pmatrix} p & r \\ -q & -s\end{pmatrix}

Igualando entrada a entrada:

\begin{cases} -p = p \;\Longrightarrow\; p = 0 \\ q = r \\ -r = -q \;\Longrightarrow\; r = q \ (\text{repetida}) \\ s = -s \;\Longrightarrow\; s = 0 \end{cases}

Así que las matrices que cumplen la primera condición son

X = \begin{pmatrix} 0 & q \\ q & 0\end{pmatrix}, \qquad q \in \mathbb{R}

Imponemos $X^{2} = I$ :

X^{2} = \begin{pmatrix} 0 & q \\ q & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & q \\ q & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q^{2} & 0 \\ 0 & q^{2}\end{pmatrix} = q^{2}I

q^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; q = \pm 1

Hay dos soluciones:

X_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad X_{2} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}

b) La ecuación $YA = AY$ (las matrices que conmutan con

A

). Con

Y = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s\end{pmatrix}

YA = \begin{pmatrix} -p & q \\ -r & s\end{pmatrix}, \qquad AY = \begin{pmatrix} -p & -q \\ r & s\end{pmatrix}

Igualando:

q = -q \;\Longrightarrow\; q = 0, \qquad -r = r \;\Longrightarrow\; r = 0

(las entradas de la diagonal no imponen nada). Luego

Y

debe ser diagonal:

Y = \begin{pmatrix} p & 0 \\ 0 & s\end{pmatrix}

Imponemos las otras dos condiciones. Traza nula:

p + s = 0 \;\Longrightarrow\; s = -p

Determinante

-1

|Y| = p\,s = -p^{2} = -1 \;\Longrightarrow\; p^{2} = 1 \;\Longrightarrow\; p = \pm 1

De nuevo dos soluciones:

Y_{1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \qquad\text{y}\qquad Y_{2} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = A

Comprobación: ambas son diagonales, luego conmutan con

A

(que también lo es); las dos tienen traza

1-1 = 0

y determinante

-1

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No intentes despejar: con una traspuesta en la ecuación, $A$ no se puede "pasar al otro lado". El método es plantear la matriz genérica con cuatro incógnitas e igualar elemento a elemento. Es más largo de escribir pero es el único camino correcto.

El enunciado dice "halla todas las matrices": las dos soluciones de cada apartado cuentan. Quedarse con la del signo $+$ es dejarse la mitad, y ese "todas" está puesto precisamente para avisar de que hay más de una.