Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2015 · Reserva 5 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} \phantom{2}x\phantom{{}+\alpha y}+\alpha z = 2 \\ 2x+\alpha y \phantom{{}+\alpha z} = \alpha+4 \\ 3x+\phantom{\alpha}y+(\alpha+4)z = 7\end{cases}

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de

\alpha

.

b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para

\alpha = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = -2\alpha^{2}+6\alpha = -2\alpha(\alpha-3) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \alpha = 0 \text{ o } \alpha = 3\;}

\boxed{\;\text{a) } \alpha\neq0,3: \text{ S.C.D.}; \qquad \alpha = 0 \text{ y } \alpha = 3: \text{ S.C.I. (nunca incompatible)}\;}

\boxed{\;\alpha=0: (2,\, 1-4t,\, t); \qquad \alpha=3: (2-3t,\, 1+2t,\, t)\;}

\boxed{\;\text{b) } \alpha = 2: \ (x,y,z) = (2,\, 1,\, 0)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius: determinante de la matriz de coeficientes y, donde se anule, comparación de rangos con la ampliada.

Aquí ocurre algo cómodo: en los dos valores que anulan el determinante el sistema resulta ser compatible indeterminado. Es decir, nunca es incompatible; conviene comprobarlo con cuidado y no darlo por supuesto.

En b),

\alpha=2

no anula el determinante, así que la solución es única.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \alpha \\ 2 & \alpha & 0 \\ 3 & 1 & \alpha+4\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 2 \\ \alpha+4 \\ 7\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = 1\bigl[\alpha(\alpha+4)-0\bigr]-0+\alpha\bigl[2-3\alpha\bigr] = \alpha^{2}+4\alpha+2\alpha-3\alpha^{2}

\det M = -2\alpha^{2}+6\alpha = -2\alpha\,(\alpha-3)

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; \alpha = 0 \quad \text{o} \quad \alpha = 3

a) Discusión.

Caso $\alpha\neq0$ y $\alpha\neq3$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 = n

\textbf{Compatible determinado}

Caso $\alpha = 0$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 7\end{array}\right)

La segunda fila es el doble de la primera (también en el término independiente:

4 = 2\cdot2

). Con el menor

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1\end{vmatrix} = 1 \neq 0

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

Caso $\alpha = 3$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 0 & 7 \\ 3 & 1 & 7 & 7\end{array}\right)

Orlamos el menor

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3\end{vmatrix} = 3\neq0

con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 7 \\ 3 & 1 & 7\end{vmatrix} = 1(21-7)-0+2(2-9) = 14-14 = 0

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

(De hecho $3F_{3} = 7F_{1}+F_{2}$ , incluida la columna de términos independientes: $\;3\cdot7 = 7\cdot2+7$ .)

Las soluciones de los casos indeterminados (con

z = t

\alpha = 0: \; x = 2, \quad y = 1-4t, \quad z = t

\alpha = 3: \; x = 2-3t, \quad y = 1+2t, \quad z = t

b) El caso $\alpha = 2$ . Como

\det M = -2\cdot2\cdot(-1) = 4 \neq 0

, hay solución única. El sistema es

\begin{cases} x+2z = 2 \\ 2x+2y = 6 \\ 3x+y+6z = 7\end{cases}

De la primera,

x = 2-2z

; de la segunda,

y = 3-x = 1+2z

. Llevando a la tercera:

3(2-2z)+(1+2z)+6z = 6-6z+1+2z+6z = 7+2z = 7 \;\Longrightarrow\; z = 0

x = 2, \qquad y = 1, \qquad z = 0

Comprobación.

\;2+0 = 2\;\checkmark

;

\;4+2 = 6\;\checkmark

;

\;6+1+0 = 7\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que $\det M = 0$ no implica que el sistema sea incompatible. Aquí los dos valores críticos dan sistemas compatibles indeterminados; hay que comprobar el rango de la ampliada en cada uno, no darlo por hecho.

El parámetro aparece también en los términos independientes ( $\alpha+4$ ). Al sustituir $\alpha=0$ o $\alpha=3$ , hazlo en toda la matriz ampliada.

Para el rango de $M^{*}$ , orla un menor de orden $2$ no nulo con la columna de términos independientes. Si ese determinante se anula, los rangos coinciden y el sistema es compatible.