Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2008 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & m^{2} & m^{2} \\ m & m & m^{2}\end{pmatrix}

a) [1 punto] Halla los valores del parámetro

m

para los que el rango de $A$ es menor que 3.

b) [1,5 puntos] Estudia si el sistema

\;A\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}\;

tiene solución para cada uno de los valores de

m

obtenidos en el apartado anterior.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det A = m^{4}-2m^{3}+m^{2} = m^{2}\,(m-1)^{2}\;}

\boxed{\;\text{a) } \operatorname{rg}A<3 \iff m = 0 \ \text{o} \ m = 1\;}

\boxed{\;m = 0: \ \text{queda la ecuación } 0 = 1 \Rightarrow \textbf{incompatible}\;}

\boxed{\;m = 1: \ x+y+z = 1 \Rightarrow \textbf{compatible indeterminado} \ \text{(un plano)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) $\operatorname{rg}A<3 \iff \det A = 0$ . El determinante se factoriza en un producto de cuadrados, lo que da dos valores críticos.
b) En cada valor, la matriz $A$ se vuelve muy degenerada:

- con

m = 0

dos filas se anulan pero el término independiente no: incompatible;
- con

m = 1

las tres filas coinciden y el término independiente también: compatible indeterminado.

Desarrollo

a) El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det A = 1\,\bigl(m^{2}\cdot m^{2}-m^{2}\cdot m\bigr)-1\,\bigl(m\cdot m^{2}-m^{2}\cdot m\bigr)+1\,\bigl(m\cdot m-m^{2}\cdot m\bigr)

= \bigl(m^{4}-m^{3}\bigr)-0+\bigl(m^{2}-m^{3}\bigr) = m^{4}-2m^{3}+m^{2}

\det A = m^{2}\,\bigl(m^{2}-2m+1\bigr) = m^{2}\,(m-1)^{2}

\det A = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \quad \text{o} \quad m = 1

\textbf{El rango es menor que 3 si } m = 0 \ \text{ o } \ m = 1

b) El sistema en cada caso.

Caso $m = 0$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \qquad M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)

La segunda ecuación dice

\;0 = 1

: absurdo.

Formalmente,

\operatorname{rg}A = 1

pero

\operatorname{rg}M^{*} = 2

\textbf{Sistema incompatible: no tiene solución}

Caso $m = 1$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \qquad M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)

Las tres filas son idénticas, término independiente incluido: el sistema se reduce a una sola ecuación,

x+y+z = 1

\operatorname{rg}A = \operatorname{rg}M^{*} = 1 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

Las soluciones (dos parámetros):

(x,\,y,\,z) = \bigl(1-s-t,\; s,\; t\bigr), \qquad s,t\in\mathbb{R}

(Geométricamente: un plano, el de ecuación $x+y+z = 1$ .)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que el determinante se factorice como producto de cuadrados ( $m^{2}(m-1)^{2}$ ) es la pista de que en esos valores la matriz se degenera mucho: el rango puede bajar hasta $1$ .

Con $m = 0$ hay dos filas nulas en $A$ pero el término independiente vale $1$ : la ecuación $0 = 1$ basta para concluir la incompatibilidad, sin calcular rangos.

Con $m = 1$ el rango es $1$ y quedan dos parámetros libres: la solución es un plano, no una recta. El número de parámetros es $n-\operatorname{rg} = 3-1 = 2$ .