Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2014 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcr} m x-\phantom{2m}2y+\phantom{m}z & = & 1 \\ \phantom{m}x-2m y+\phantom{m}z & = & -2 \\ \phantom{m}x-\phantom{2m}2y+m z & = & 1\end{array}\right\}

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores del parámetro

m

.

b) [0,75 puntos] Si es posible, resuelve el sistema para

m = -2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = -2\bigl(m^{3}-3m+2\bigr) = -2\,(m-1)^{2}(m+2)\;}

\boxed{\;\text{a) } m\neq1,-2: \text{ S.C.D.}; \quad m=1: \text{ S.I.}; \quad m=-2: \text{ S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{b) } m=-2: \ 2y+z = -1 \ \text{ y } \ x+2y = -1\;}

\boxed{\;(x,y,z) = (-1-2t,\; t,\; -1-2t)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante sale con raíz doble, así que hay dos valores críticos y conviene analizarlos por separado: uno da sistema incompatible y el otro indeterminado.

Un detalle que ayuda mucho en el caso

m=1

: las tres ecuaciones tienen entonces los mismos coeficientes pero distintos términos independientes, lo que hace evidente la incompatibilidad.

Desarrollo

El determinante.

\det M = \begin{vmatrix} m & -2 & 1 \\ 1 & -2m & 1 \\ 1 & -2 & m\end{vmatrix}

= m\bigl(-2m^{2}+2\bigr)+2\,(m-1)+1\,(-2+2m)

= -2m^{3}+2m+2m-2-2+2m = -2m^{3}+6m-4

= -2\bigl(m^{3}-3m+2\bigr) = -2\,(m-1)^{2}(m+2)

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 1 \ (\text{doble}) \quad \text{o} \quad m = -2

a) Discusión.

Caso $m\neq1$ y $m\neq-2$ :

\det M \neq 0

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $m = 1$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 & 1\end{array}\right)

Las tres filas de coeficientes son iguales, luego

\operatorname{rg}M = 1

. Pero los términos independientes no lo son (

1

-2

1

): las dos primeras ecuaciones se contradicen.

\operatorname{rg}M = 1 < \operatorname{rg}M^{*} = 2 \;\Longrightarrow\; \textbf{Incompatible}

Caso $m = -2$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & -2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 & 1\end{array}\right)

\operatorname{rg}M = 2

(por ejemplo

\begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 1 & 4\end{vmatrix} = -6\neq0

). Para

M^{*}

basta orlar ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes (el otro orlado posible es

\det M = 0

\begin{vmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1\end{vmatrix} = -2\,(4-4)+2\,(1+2)+1\,(-2-4) = 0+6-6 = 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}M^{*} = 2

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado (1 parámetro)}

b) Resolución para $m = -2$ . El sistema es

\begin{cases} -2x-2y+\phantom{2}z = \phantom{-}1 \\ \phantom{-2}x+4y+\phantom{2}z = -2 \\ \phantom{-2}x-2y-2z = \phantom{-}1\end{cases}

Restando la tercera de la segunda:

6y+3z = -3 \;\Longrightarrow\; 2y+z = -1 \;\Longrightarrow\; z = -1-2y

Sustituyendo en la tercera:

x-2y-2\,(-1-2y) = x-2y+2+4y = x+2y+2 = 1 \;\Longrightarrow\; x = -1-2y

Tomando

y = t

como parámetro:

(x,\,y,\,z) = \bigl(-1-2t,\; t,\; -1-2t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

(Obsérvese que $x = z$ en todas las soluciones.)

Comprobación con $t = 0$ : $(-1,0,-1)$ .

2-0-1 = 1 \;\checkmark \qquad -1+0-1 = -2 \;\checkmark \qquad -1-0+2 = 1 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con $m=1$ las tres filas de coeficientes coinciden: el rango de $M$ baja a $1$ , no a $2$ . Fijarse en eso ahorra calcular menores y hace evidente la incompatibilidad.

Que $m=1$ sea raíz doble del determinante no cambia el procedimiento: hay que estudiarlo igual que la raíz simple, comparando los dos rangos.

En b), buscar una combinación cómoda (aquí, restar la tercera de la segunda) simplifica mucho el sistema. Y comprueba la solución en las tres ecuaciones, no solo en las que has usado.