Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2022 · Reserva 1

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}

a) [1 punto] Calcula

A^{-1}

.

b) [1,5 puntos] Calcula la matriz

X

de orden tres que verifica

A\,X + (A - X)^{2} = X^{2} + I

, siendo

I

la matriz identidad de orden tres.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & -1 \end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad XA = A^{2} - I \;\Longrightarrow\; X = A - A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\[3pt] 0 & 2 & 1 \\[3pt] 2 & -\frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El apartado b) parece complicadísimo por el cuadrado, pero se desmonta en cuanto se desarrolla con cuidado. La clave es recordar que el producto de matrices no es conmutativo, así que

(A - X)^{2} = (A-X)(A-X) = A^{2} - A X - X A + X^{2}

y no

A^{2} - 2AX + X^{2}

. Al sustituir, el término

AX

se cancela con el

AX

de la izquierda y el

X^{2}

con el de la derecha: lo que queda es una ecuación lineal en

X

, mucho más simple de lo que aparentaba.

El resto es un despeje estándar en el que la incógnita queda multiplicada por la derecha por

A

, de modo que

A^{-1}

entra también por la derecha.

Desarrollo

a) Inversa de $A$ .

|A| = 1\bigl(-1 + 1\bigr) - 2\bigl(-1 - 1\bigr) + 1\bigl(-1 - 1\bigr) = 0 + 4 - 2 = 2 \neq 0

La matriz adjunta traspuesta es

\operatorname{adj}(A)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & -1 \end{pmatrix}

(Por ejemplo, $A_{11} = \left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right| = 0$ y $A_{21} = -\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right| = -(-2+1) = 1$ .)

A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[3pt] 1 & -1 & 0 \\[3pt] -1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

b) Simplificación de la ecuación. Desarrollando el cuadrado sin conmutar:

(A - X)^{2} = A^{2} - AX - XA + X^{2}

Sustituyendo en la ecuación:

AX + A^{2} - AX - XA + X^{2} = X^{2} + I

Se cancelan

AX

con

-AX

, y

X^{2}

con

X^{2}

A^{2} - XA = I \;\Longrightarrow\; XA = A^{2} - I

Despeje. La incógnita está multiplicada por

A

por la derecha, así que multiplicamos por

A^{-1}

por la derecha:

X = \bigl(A^{2} - I\bigr)A^{-1} = A^{2}A^{-1} - A^{-1} = A - A^{-1}

¡No hace falta ni calcular

A^{2}

!

Cálculo final.

X = A - A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[3pt] 1 & -1 & 0 \\[3pt] -1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\[3pt] 0 & 2 & 1 \\[3pt] 2 & -\frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

Comprobación. Basta verificar que

XA = A^{2} - I

; sustituyendo, la primera fila de

XA

\left(1, \tfrac{3}{2}, \tfrac{1}{2}\right)\cdot\text{columnas de } A = \left(1 + \tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{2},\; 2 + \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2},\; 1 + \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2}\right) = (3, 3, 2)

y la primera fila de

A^{2} - I

(4,3,2) - (1,0,0) = (3,3,2)

. Coincide.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

$(A - X)^{2} \neq A^{2} - 2AX + X^{2}$ . La identidad notable de los números no vale para matrices, porque $AX$ y $XA$ son distintos en general. Desarrollar el cuadrado como un producto de dos factores es lo que hace que este ejercicio se simplifique hasta una ecuación lineal. Con la identidad notable llegarías a $AX = A^{2} - I$ , que aquí da por casualidad la misma $X$ (porque $A$ conmuta con $A^{2} - I$ ), pero el paso es falso y el corrector lo penaliza igual.

Al despejar, fíjate en por qué lado queda multiplicada la incógnita. Aquí es $X A$ , así que $A^{-1}$ entra por la derecha: $X = (A^{2}-I)A^{-1}$ . Y aprovecha que $A^{2}A^{-1} = A$ para evitarte calcular $A^{2}$ entero.