Opción B · Ejercicio 3. Sean A y B las matrices A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5\end{pmatrix} a) [1,25 puntos] Calcula las matrices X e Y para las que \;2X-Y = A\; y \;X-3Y = B. b) [1,25 puntos] Halla la matriz Z que verifica B^{2}+Z\,A+B^{t} = 3I (I denota la matriz identidad y B^{t} la matriz traspuesta de B).

Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2013 · Reserva 3 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sean

A

B

las matrices

A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5\end{pmatrix}

a) [1,25 puntos] Calcula las matrices

X

Y

para las que

\;2X-Y = A\;

\;X-3Y = B

.

b) [1,25 puntos] Halla la matriz

Z

que verifica

B^{2}+Z\,A+B^{t} = 3I

(

I

denota la matriz identidad y

B^{t}

la matriz traspuesta de

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a) } 5X = 3A-B \;\Longrightarrow\; X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}; \quad Y = 2X-A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -1\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;\text{b) } Z\,A = 3I-B^{2}-B^{t} \;\Longrightarrow\; Z = \bigl(3I-B^{2}-B^{t}\bigr)A^{-1}\;}

\boxed{\;3I-B^{2}-B^{t} = \begin{pmatrix} -35 & 33 \\ 58 & -63\end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2\end{pmatrix}\;}

\boxed{\;Z = \begin{pmatrix} -76 & -39 \\ 101 & 48\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Es un sistema de dos ecuaciones matriciales. Como las incógnitas aparecen solo multiplicadas por escalares, se resuelve por reducción exactamente igual que un sistema numérico:

X = \frac{3A-B}{5}, \qquad Y = \frac{A-2B}{5}

b) Se despeja $Z\,A = 3I-B^{2}-B^{t}$ y, como $A$ multiplica por la derecha, la inversa entra por la derecha:

Z = \bigl(3I-B^{2}-B^{t}\bigr)A^{-1}

Conviene comprobar antes que

\det A\neq0

Desarrollo

a) El sistema.

\begin{cases} 2X-\phantom{3}Y = A \\ \phantom{2}X-3Y = B\end{cases}

Para $X$ : multiplicamos la primera por

3

y restamos la segunda:

6X-3Y-\bigl(X-3Y\bigr) = 3A-B \;\Longrightarrow\; 5X = 3A-B \;\Longrightarrow\; X = \frac{3A-B}{5}

3A = \begin{pmatrix} 6 & -9 \\ -9 & 15\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; 3A-B = \begin{pmatrix} 5 & -5 \\ 0 & 10\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}

Para $Y$ : de la primera,

\;Y = 2X-A

Y = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -1\end{pmatrix}

Comprobación.

\;X-3Y = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 9 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5\end{pmatrix} = B

\;\checkmark

b) Despejando $Z$ .

Z\,A = 3I-B^{2}-B^{t} \;\Longrightarrow\; Z = \bigl(3I-B^{2}-B^{t}\bigr)A^{-1}

La inversa de $A$ .

\det A = 10-9 = 1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; A^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2\end{pmatrix}

(Con determinante $1$ , la inversa es simplemente la adjunta traspuesta.)

Los cálculos.

B^{2} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 37 & -24 \\ -54 & 61\end{pmatrix} \qquad B^{t} = \begin{pmatrix} 1 & -9 \\ -4 & 5\end{pmatrix}

3I-B^{2}-B^{t} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 37 & -24 \\ -54 & 61\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -9 \\ -4 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -35 & 33 \\ 58 & -63\end{pmatrix}

La matriz $Z$ .

Z = \begin{pmatrix} -35 & 33 \\ 58 & -63\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -175+99 & -105+66 \\ 290-189 & 174-126\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -76 & -39 \\ 101 & 48\end{pmatrix}

Comprobación.

\;B^{2}+Z\,A+B^{t} = 3I

\;\checkmark

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Consejo

En a) las incógnitas van multiplicadas por escalares, así que se resuelve por reducción como un sistema numérico. No hay que invertir nada.

En b) $A$ multiplica a $Z$ por la derecha, luego $A^{-1}$ entra por la derecha: $Z = (\cdots)A^{-1}$ , no $A^{-1}(\cdots)$ . Es el error que más se repite en las ecuaciones matriciales.

Que $\det A = 1$ facilita mucho la inversa: es directamente la adjunta traspuesta, sin fracciones. Comprueba $A\,A^{-1} = I$ antes de multiplicar.