Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2010 · Reserva 4 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcrcrcr} \lambda x & + & 2y & + & 6z & = & 0 \\ 2x & + & \lambda y & + & 4z & = & 2 \\ 2x & + & \lambda y & + & 6z & = & \lambda-2\end{array}\right\}

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro

\lambda

.

b) [0,75 puntos] Resuélvelo para

\lambda = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F_{3}-F_{2} = (0,0,2) \;\Longrightarrow\; \det M = 2\,\bigl(\lambda^{2}-4\bigr)\;}

\boxed{\;\lambda\neq\pm2: \text{ compatible determinado}\;}

\boxed{\;\lambda = 2: \ F_{1} = F_{3} \text{ (con el t. indep.)} \Rightarrow \text{S.C.I.}; \quad \lambda = -2: \text{ incompatible}\;}

\boxed{\;\lambda = 2: \ (x,y,z) = (t,\; 3-t,\; -1)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Fíjate en las ecuaciones segunda y tercera: solo se diferencian en el coeficiente de

z

(

4

frente a

6

). Restándolas,

F_{3}-F_{2} = (0,\; 0,\; 2)

y con esa fila el determinante se calcula de un plumazo.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} \lambda & 2 & 6 \\ 2 & \lambda & 4 \\ 2 & \lambda & 6\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ \lambda-2\end{pmatrix}

El determinante. Sustituimos

F_{3}

por

F_{3}-F_{2}

(no cambia el determinante):

\det M = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 6 \\ 2 & \lambda & 4 \\ 0 & 0 & 2\end{vmatrix} = 2\,\begin{vmatrix} \lambda & 2 \\ 2 & \lambda\end{vmatrix} = 2\,\bigl(\lambda^{2}-4\bigr)

\det M = 2\,(\lambda-2)(\lambda+2) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 2 \quad \text{o} \quad \lambda = -2

a) Discusión.

Caso $\lambda\neq\pm2$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $\lambda = 2$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 6 & 0\end{array}\right)

Las filas primera y tercera son idénticas, término independiente incluido: la tercera ecuación sobra. Y el menor

\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 4\end{vmatrix} = 8-12 = -4 \neq 0

da rango

2

en las dos matrices:

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

Caso $\lambda = -2$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 6 & \phantom{-}0 \\ 2 & -2 & 4 & \phantom{-}2 \\ 2 & -2 & 6 & -4\end{array}\right)

Aquí

\operatorname{rg}M = 2

(por ejemplo,

\begin{vmatrix} -2 & 6 \\ 2 & 4\end{vmatrix} = -8-12 = -20 \neq 0

), pero al orlar ese menor con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} -2 & 6 & 0 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 6 & -4\end{vmatrix} = 128 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}M^{*} = 3

\operatorname{rg}M = 2 \neq 3 = \operatorname{rg}M^{*} \;\Longrightarrow\; \textbf{Sistema incompatible}

b) Resolución para $\lambda = 2$ . Con la tercera descartada y dividiendo entre

2

\begin{cases} x+y+3z = 0 \\ x+y+2z = 1\end{cases}

Restando:

\;z = -1

. Sustituyendo en la primera:

x+y-3 = 0 \;\Longrightarrow\; x+y = 3

Con

x = t

(x,\,y,\,z) = \bigl(t,\; 3-t,\; -1\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con

t = 0

(0,3,-1)

;

\;0+6-6 = 0

\checkmark

;

\;0+6-4 = 2

\checkmark

;

\;0+6-6 = 0 = \lambda-2

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de desarrollar, busca filas casi iguales: aquí $F_{3}-F_{2}$ deja dos ceros y el determinante se reduce a un menor $2\times2$ .

Los dos valores críticos dan resultados distintos: con $\lambda=2$ las filas coinciden incluso en el término independiente (compatible) y con $\lambda=-2$ no (incompatible). Hay que mirar la ampliada en cada uno.

Al resolver el caso indeterminado, simplifica las ecuaciones dividiendo entre $2$ antes de restar: los números salen mucho más manejables.