Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2009 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. [2,5 puntos] Sean las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \\ 0 & 3\end{pmatrix}

Determina la matriz

X

que verifica

\;AX-B^{t} = 2C

(

B^{t}

es la matriz traspuesta de

B

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;X \text{ es de orden } 3\times2\;}

\boxed{\;AX = 2C+B^{t} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 0 & 7\end{pmatrix}, \quad X = A^{-1}\bigl(2C+B^{t}\bigr)\;}

\boxed{\;A^{-1} = \frac14\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & -2 & -5\end{pmatrix} \ (\det A = 4)\;}

\boxed{\;X = \begin{pmatrix} -\tfrac74 & -\tfrac12 \\ -\tfrac54 & -\tfrac92 \\ -\tfrac74 & -\tfrac{15}{2}\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero las dimensiones:

B

2\times3

, luego

B^{t}

3\times2

, igual que

C

. Y

A

3\times3

, así que

X \text{ es } 3\times2

Se despeja:

AX = 2C+B^{t} \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}\bigl(2C+B^{t}\bigr)

(la inversa entra por la izquierda, porque

A

está a la izquierda de

X

Desarrollo

El segundo miembro.

B^{t} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \qquad 2C = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -4 \\ 0 & 6\end{pmatrix}

2C+B^{t} = \begin{pmatrix} -4+3 & 2-1 \\ 2+1 & -4+2 \\ 0+0 & 6+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 0 & 7\end{pmatrix}

El determinante de $A$ . Desarrollando por la primera fila:

\det A = 1\,\bigl[(-1)(-1)-1\cdot0\bigr]+2\,\bigl[(-2)(-1)-1\cdot1\bigr]+1\,\bigl[0-(-1)\cdot1\bigr]

= 1+2\,(2-1)+1\,(1) = 1+2+1 = 4 \neq 0

La inversa. Los cofactores son

\begin{array}{lll} A_{11} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1\end{vmatrix} = 1 & A_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = -1 & A_{13} = \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = 1 \\[3mm] A_{21} = -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1\end{vmatrix} = -2 & A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = -2 & A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = -2 \\[3mm] A_{31} = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 1\end{vmatrix} = -1 & A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 1\end{vmatrix} = -3 & A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -1\end{vmatrix} = -5\end{array}

A^{-1} = \frac14\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & -2 & -5\end{pmatrix}

El producto.

X = \frac14\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & -2 & -3 \\ 1 & -2 & -5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \\ 0 & 7\end{pmatrix}

Fila 1:

\;\bigl(-1-6-0,\; 1+4-7\bigr) = (-7,\; -2)

Fila 2:

\;\bigl(1-6-0,\; -1+4-21\bigr) = (-5,\; -18)

Fila 3:

\;\bigl(-1-6-0,\; 1+4-35\bigr) = (-7,\; -30)

X = \frac14\begin{pmatrix} -7 & -2 \\ -5 & -18 \\ -7 & -30\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac74 & -\tfrac12 \\[1mm] -\tfrac54 & -\tfrac92 \\[1mm] -\tfrac74 & -\tfrac{15}{2}\end{pmatrix}

Comprobación (primera fila de

AX

1\left(-\tfrac74\right)-2\left(-\tfrac54\right)+1\left(-\tfrac74\right) = -\tfrac74+\tfrac{10}{4}-\tfrac74 = -1

\;(2C+B^{t})_{11} = -1

\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Empieza por las dimensiones. Aquí $X$ es $3\times2$ : no es cuadrada, así que ni siquiera tiene sentido plantear $X = (2C+B^{t})A^{-1}$ .

$A$ multiplica por la izquierda, así que su inversa entra por la izquierda. Es la regla que más se falla en las ecuaciones matriciales.

Deja el factor $\frac14$ fuera hasta el final: se multiplica una matriz de enteros y se divide una sola vez. Menos fracciones intermedias, menos errores.