Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2010 · Junio · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Sea el siguiente sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcrcrcr} \lambda x & + & y & + & z & = & \lambda+2 \\ 2x & - & \lambda y & + & z & = & 2 \\ x & - & y & + & \lambda z & = & \lambda\end{array}\right\}

a) [1,75 puntos] Discútelo según los valores de

\lambda

. ¿Tiene siempre solución?

b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para

\lambda = -1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = -\lambda^{3}-1 = -(\lambda+1)\bigl(\lambda^{2}-\lambda+1\bigr)\;}

\boxed{\;\lambda^{2}-\lambda+1 \text{ no tiene raíces reales } (\Delta = -3)\;}

\boxed{\;\lambda\neq-1: \text{S.C.D.}; \ \ \lambda = -1: F_{3} = -F_{1} \Rightarrow \text{S.C.I.}\;}

\boxed{\;\lambda = -1: \ (x,y,z) = \left(\tfrac13,\; \tfrac43-t,\; t\right)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El determinante sale un polinomio de tercer grado, pero al factorizarlo aparece un factor cuadrático sin raíces reales, así que solo hay un valor crítico.

La pregunta "¿tiene siempre solución?" pide una respuesta explícita: hay que comprobar que en el valor crítico el sistema sigue siendo compatible (indeterminado), y entonces la respuesta es sí.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 2 & -\lambda & 1 \\ 1 & -1 & \lambda\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} \lambda+2 \\ 2 \\ \lambda\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = \lambda\bigl(-\lambda^{2}+1\bigr)-1\,(2\lambda-1)+1\,(-2+\lambda)

= -\lambda^{3}+\lambda-2\lambda+1-2+\lambda = -\lambda^{3}-1

\det M = -\bigl(\lambda^{3}+1\bigr) = -(\lambda+1)\bigl(\lambda^{2}-\lambda+1\bigr)

El factor cuadrático no se anula nunca:

\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3 < 0

\det M = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = -1 \quad \text{(único valor crítico)}

a) Discusión.

Caso $\lambda\neq-1$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $\lambda = -1$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & -1\end{array}\right)

La tercera fila es la primera cambiada de signo (también en el término independiente):

F_{3} = -F_{1}

Y el menor

\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -1-2 = -3 \neq 0

da rango

2

en las dos matrices:

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

\textbf{Sí, el sistema tiene solución para todo } \lambda \textbf{ (nunca es incompatible)}

b) Resolución para $\lambda = -1$ . El sistema (quitando la tercera, redundante) es

\begin{cases} -x+y+z = 1 \\ \phantom{-}2x+y+z = 2\end{cases}

Restando la primera de la segunda:

3x = 1 \;\Longrightarrow\; x = \frac13

De la primera:

\;y+z = 1+x = \dfrac43

.

Con

z = t

(x,\,y,\,z) = \left(\frac13,\; \frac43-t,\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con

t = 0

\left(\frac13,\frac43,0\right)

-\tfrac13+\tfrac43+0 = 1 \;\checkmark \qquad \tfrac23+\tfrac43+0 = 2 \;\checkmark \qquad \tfrac13-\tfrac43-0 = -1 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al factorizar un determinante cúbico, comprueba el discriminante del factor de segundo grado. Si es negativo, ese factor no aporta valores críticos y la discusión se acorta.

La pregunta "¿tiene siempre solución?" quiere una respuesta explícita: sí, porque en el único valor crítico el sistema sale compatible indeterminado, nunca incompatible.

Detectar $F_{3} = -F_{1}$ incluido el término independiente demuestra la compatibilidad de un vistazo y te dice qué ecuación puedes descartar al resolver.