Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2013 · Junio · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Sea

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m+1 & 0 \\ 1 & 1 & m-1\end{pmatrix}

.

a) [0,75 puntos] Determina los valores de

m

para los que los vectores fila de

M

son linealmente independientes.

b) [1 punto] Estudia el rango de

M

según los valores de

m

.

c) [0,75 puntos] Para

m = 1

, calcula la inversa de

M

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = (m+1)\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & m-1\end{vmatrix} = m\,(m+1)\;}

\boxed{\;\text{a) Filas L.I.} \iff m \neq 0 \ \text{ y } \ m \neq -1\;}

\boxed{\;\text{b) } \operatorname{rg}M = 3 \text{ si } m\neq0,-1; \qquad \operatorname{rg}M = 2 \text{ si } m = 0 \text{ o } m = -1\;}

\boxed{\;\text{c) } m=1: \ \det M = 2, \quad M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac12 & 1 \\ 0 & \frac12 & 0 \\ -1 & -\frac12 & 1\end{pmatrix}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres apartados se apoyan en el mismo determinante:

a) Tres vectores de $\mathbb{R}^{3}$ son linealmente independientes $\iff$ el determinante que forman es no nulo.
b) Donde el determinante se anula, hay que bajar a los menores de orden 2 para decidir si el rango es $2$ o menos.
c) Con $m=1$ el determinante no se anula, así que la inversa existe.

El determinante es cómodo: la segunda fila solo tiene un elemento no nulo.

Desarrollo

El determinante. Desarrollando por la segunda fila:

\det M = (m+1)\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & m-1\end{vmatrix} = (m+1)\bigl[(m-1)+1\bigr] = (m+1)\,m

\det M = m\,(m+1) = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 0 \quad \text{o} \quad m = -1

a) Filas linealmente independientes.

\det M \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; m \neq 0 \ \text{ y } \ m \neq -1

b) El rango.

Caso $m\neq0$ y $m\neq-1$ :

\;\operatorname{rg}M = 3

.

Caso $m = 0$ :

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}M = 2

(Aquí $F_{3} = F_{1}+F_{2}$ .)

Caso $m = -1$ :

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -2\end{pmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 1 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}M = 2

(La segunda fila es nula, pero las otras dos son independientes.)

\operatorname{rg}M = \begin{cases} 3 & \text{si } m \neq 0,\, -1 \\ 2 & \text{si } m = 0 \text{ o } m = -1\end{cases}

c) La inversa para $m = 1$ .

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}, \qquad \det M = 1\cdot 2 = 2 \neq 0

Con

M^{-1} = \dfrac{1}{\det M}\bigl(\operatorname{Adj}M\bigr)^{t}

\operatorname{Adj}M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 2\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \bigl(\operatorname{Adj}M\bigr)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 2\end{pmatrix}

M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac12 & 1 \\[3pt] 0 & \frac12 & 0 \\[3pt] -1 & -\frac12 & 1\end{pmatrix}

Comprobación.

\;M\,M^{-1}

F_{1}: \ (0+0+1,\; -\tfrac12+0+\tfrac12,\; 1+0-1) = (1,\,0,\,0) \;\checkmark

F_{2}: \ (0,\; 1,\; 0) \;\checkmark \qquad F_{3}: \ (0+0,\; -\tfrac12+\tfrac12,\; 1+0) = (0,\,0,\,1) \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

"Vectores fila linealmente independientes" es exactamente " $\det M \neq 0$ " para una matriz cuadrada. Los apartados a) y b) son la misma cuenta vista desde dos ángulos.

Cuando el determinante se anula, exhibe un menor de orden $2$ no nulo para afirmar que el rango es $2$ . Que una fila sea nula (caso $m=-1$ ) no baja el rango a $1$ por sí solo.

Aprovecha los ceros: la segunda fila de $M$ tiene un único elemento no nulo, así que el determinante sale de un menor $2\times2$ . Y comprueba siempre $M\,M^{-1} = I$ .