Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2022 · Junio

Enunciado

Ejercicio 5 (bloque B). Considera el sistema:

\begin{cases} \phantom{-m}x - \phantom{4}y + mz = -3 \\ -mx + 3y - \phantom{m}z = \phantom{-}1 \\ \phantom{-m}x - 4y + mz = -6 \end{cases}

a) [1,75 puntos] Discute el sistema según los valores de

m

.

b) [0,75 puntos] Para

m = 2

resuelve el sistema, si es posible.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;|A| = 3(m-1)(m+1)\;}

\boxed{\;m \neq \pm 1: \text{ S.C.D.}; \qquad m = 1: \text{ incompatible}; \qquad m = -1: \text{ S.C.I. (un parámetro)}\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad m = 2: \quad x = 2, \quad y = 1, \quad z = -2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión estándar por Rouché–Frobenius: se calcula

|A|

, se factoriza, y para cada valor que lo anula se comparan

\operatorname{rg}(A)

\operatorname{rg}(A^{*})

.

El determinante sale especialmente limpio aquí, y los dos valores críticos son

m = 1

m = -1

. Lo interesante es que se comportan de forma distinta: uno da un sistema incompatible y el otro, uno compatible indeterminado. Conviene tratarlos por separado y no dar por hecho que "si el determinante se anula, es incompatible".

Desarrollo

a) Determinante.

|A| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & m \\ -m & 3 & -1 \\ 1 & -4 & m \end{array}\right|

Desarrollando por la primera fila:

= 1\bigl(3m - 4\bigr) + 1\bigl(-m^{2} + 1\bigr) + m\bigl(4m - 3\bigr)

= 3m - 4 - m^{2} + 1 + 4m^{2} - 3m = 3m^{2} - 3 = 3\,(m-1)(m+1)

|A| = 0 \;\Longleftrightarrow\; m = 1 \quad \text{o} \quad m = -1

Caso 1: $m \neq \pm 1$ .

|A| \neq 0

, luego

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 3 =

número de incógnitas: sistema compatible determinado, con solución única.

Caso 2: $m = 1$ . El sistema queda

\begin{cases} \phantom{-}x - \phantom{4}y + z = -3 \\ -x + 3y - z = \phantom{-}1 \\ \phantom{-}x - 4y + z = -6 \end{cases}

El menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 3\end{array}\right| = 2 \neq 0

, así que

\operatorname{rg}(A) = 2

.

Para la ampliada, orlamos con la columna de términos independientes:

\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -3 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & -6 \end{array}\right| = 1(-18 + 4) + 1(6 - 1) - 3(4 - 3) = -14 + 5 - 3 = -12 \neq 0

Luego

\operatorname{rg}(A^{*}) = 3 \neq 2 = \operatorname{rg}(A)

: sistema incompatible.

Caso 3: $m = -1$ . El sistema queda

\begin{cases} x - \phantom{4}y - z = -3 \\ x + 3y - z = \phantom{-}1 \\ x - 4y - z = -6 \end{cases}

El menor

\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right| = 4 \neq 0

, luego

\operatorname{rg}(A) = 2

. Y ahora la orlada sí se anula:

\left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -3 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & -4 & -6 \end{array}\right| = 1(-18+4) + 1(-6-1) - 3(-4-3) = -14 - 7 + 21 = 0

\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3

: sistema compatible indeterminado con un parámetro.

b) Caso $m = 2$ . Estamos en el caso 1, con

|A| = 3(1)(3) = 9 \neq 0

\begin{cases} \phantom{-2}x - \phantom{4}y + 2z = -3 \\ -2x + 3y - \phantom{2}z = \phantom{-}1 \\ \phantom{-2}x - 4y + 2z = -6 \end{cases}

Restando la primera de la tercera desaparecen

x

z

de golpe:

-3y = -3 \;\Longrightarrow\; y = 1

Sustituyendo en la primera:

\;x - 1 + 2z = -3 \Longrightarrow x + 2z = -2

.

Y en la segunda:

\;-2x + 3 - z = 1 \Longrightarrow 2x + z = 2 \Longrightarrow z = 2 - 2x

x + 2\,(2 - 2x) = -2 \;\Longrightarrow\; -3x + 4 = -2 \;\Longrightarrow\; x = 2, \qquad z = 2 - 4 = -2

Comprobación.

2 - 1 - 4 = -3\;\checkmark

;

\;-4 + 3 + 2 = 1\;\checkmark

;

\;2 - 4 - 4 = -6\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que $|A| = 0$ no significa "incompatible". Significa que hay que mirar la ampliada: aquí $m=1$ da incompatible y $m=-1$ da compatible indeterminado, con el mismo determinante nulo. Analiza cada valor crítico por separado; es donde están casi todos los puntos del apartado a).

Para la ampliada, la vía rápida es orlar el menor de orden $2$ que ya has usado con la columna de términos independientes. No hace falta escalonar la matriz entera: un solo determinante $3\times 3$ decide el caso.