Matemáticas IIDifícilProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones con dos incógnitas

\left.\begin{array}{rcr} k x+2y & = & 2 \\ 2x+k y & = & k \\ \phantom{k}x-\phantom{k}y & = & -1\end{array}\right\}

a) [0,5 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro

k

.

b) [1 punto] Especifica para qué valores del parámetro

k

es determinado y para cuáles indeterminado.

c) [1 punto] Halla las soluciones en cada caso.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;C_{2} = C_{3} \text{ en } M^{*} \;\Longrightarrow\; \det M^{*} = 0 \ \forall k\;}

\boxed{\;\text{Menores de } M: \ k^{2}-4, \ -k-2, \ -2-k \ \text{ se anulan a la vez solo si } k = -2\;}

\boxed{\;\text{b) } k\neq-2: \operatorname{rg} = 2 \Rightarrow \text{determinado}; \quad k = -2: \operatorname{rg} = 1 \Rightarrow \text{indeterminado}\;}

\boxed{\;\text{c) } k\neq-2: (x,y) = (0,1); \qquad k = -2: (x,y) = (t-1,\; t)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Ojo: hay tres ecuaciones y dos incógnitas, así que la matriz de coeficientes

M

3\times2

y la ampliada

M^{*}

3\times3

a) Compatible $\iff \operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*}$ . Aquí basta mirar la ampliada: la columna de términos independientes coincide con la segunda columna de $M$ , así que no puede aumentar el rango y $\operatorname{rg}M^{*} = \operatorname{rg}M$ para todo $k$ . (Que $\det M^{*} = 0$ por sí solo no bastaría: solo dice que $\operatorname{rg}M^{*}\leq2$ , y podría ser $\operatorname{rg}M = 1 < \operatorname{rg}M^{*} = 2$ .)
b) Con dos incógnitas: determinado si el rango común vale $2$ , indeterminado si vale $1$ .
c) En el caso determinado la solución se obtiene de dos ecuaciones cualesquiera independientes.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 2 & k \\ 1 & -1\end{pmatrix} \qquad M^{*} = \begin{pmatrix} k & 2 & 2 \\ 2 & k & k \\ 1 & -1 & -1\end{pmatrix}

a) El determinante de la ampliada. Las columnas segunda y tercera de

M^{*}

son

C_{2} = (2,\, k,\, -1) \qquad C_{3} = (2,\, k,\, -1)

¡son iguales! Por tanto

\det M^{*} = 0 \qquad \text{para todo } k

\Longrightarrow \operatorname{rg}M^{*} \leq 2

Pero eso solo acota el rango. Lo que asegura la igualdad es que la columna de términos independientes coincide con la segunda columna de

M

: añadirla no aporta rango nuevo, luego para todo

k

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} \qquad \textbf{El sistema es compatible para todo } k

b) Rango de $M$ . Los menores de orden

2

\begin{vmatrix} k & 2 \\ 2 & k\end{vmatrix} = k^{2}-4 \qquad \begin{vmatrix} k & 2 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = -k-2 \qquad \begin{vmatrix} 2 & k \\ 1 & -1\end{vmatrix} = -2-k

Se anulan los tres a la vez solo si

k^{2} = 4 \ \text{ y } \ k = -2 \;\Longrightarrow\; k = -2

\operatorname{rg}M = \begin{cases} 2 & \text{si } k \neq -2 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado} \\ 1 & \text{si } k = -2 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}\end{cases}

(Con dos incógnitas, rango $2$ significa solución única y rango $1$ , infinitas.)

c) Las soluciones.

Caso $k\neq-2$ . Tomamos la tercera ecuación y la primera:

\begin{cases} x-y = -1 \\ k x+2y = 2\end{cases}

De la primera,

x = y-1

. Sustituyendo:

k\,(y-1)+2y = 2 \;\Longrightarrow\; y\,(k+2) = 2+k \;\Longrightarrow\; y = 1 \quad (k\neq-2)

x = 1-1 = 0

(x,\,y) = (0,\, 1)

Comprobación en la segunda:

\;2\cdot0+k\cdot1 = k

\;\checkmark

Caso $k = -2$ . El sistema queda

\begin{cases} -2x+2y = \phantom{-}2 \\ \phantom{-}2x-2y = -2 \\ \phantom{-2}x-\phantom{2}y = -1\end{cases}

Las tres ecuaciones son la misma (

x-y = -1

), salvo factor. Tomando

y = t

(x,\,y) = (t-1,\; t), \qquad t\in\mathbb{R}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con más ecuaciones que incógnitas, la matriz de coeficientes no es cuadrada: hay que trabajar con menores, no con "el determinante de $M$ ".

El truco de a) es ver que la columna de términos independientes coincide con la segunda columna de $M$ : no aporta rango nuevo, así que $\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*}$ y la compatibilidad queda garantizada sin ningún cálculo.

Con dos incógnitas, "determinado" significa rango $2$ e "indeterminado", rango $1$ . No confundas el número de ecuaciones con el número de incógnitas al aplicar Rouché-Frobenius.