Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2009 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3.

a) [1,75 puntos] Discute según los valores del parámetro

\lambda

el siguiente sistema

\left.\begin{array}{rcrcrcr} 3x & + & \lambda y & & & = & 0 \\ x & & & + & \lambda z & = & \lambda \\ x & + & y & + & 3z & = & 1\end{array}\right\}

b) [0,75 puntos] Resuélvelo para

\lambda = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = -3\lambda-\lambda\,(3-\lambda) = \lambda^{2}-6\lambda = \lambda\,(\lambda-6)\;}

\boxed{\;\lambda\neq0,6: \text{ compatible determinado}\;}

\boxed{\;\lambda = 0: \ F_{1} = 3F_{2} \text{ (con el t. indep.)} \Rightarrow \text{S.C.I.}; \quad \lambda = 6: \text{ incompatible}\;}

\boxed{\;\lambda = 0: \ (x,y,z) = (0,\; 1-3t,\; t)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante sale un polinomio de segundo grado que se factoriza solo:

\det M = \lambda^{2}-6\lambda = \lambda\,(\lambda-6)

Y en los dos valores críticos ocurren cosas distintas: en uno el sistema es indeterminado y en el otro, incompatible. Hay que estudiar la ampliada en cada caso.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 3 & \lambda & 0 \\ 1 & 0 & \lambda \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} 0 \\ \lambda \\ 1\end{pmatrix}

El determinante. Desarrollando por la primera fila:

\det M = 3\,(0\cdot3-\lambda\cdot1)-\lambda\,(1\cdot3-\lambda\cdot1)+0

= -3\lambda-\lambda\,(3-\lambda) = -3\lambda-3\lambda+\lambda^{2} = \lambda^{2}-6\lambda

\det M = \lambda\,(\lambda-6) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \lambda = 0 \quad \text{o} \quad \lambda = 6

a) Discusión.

Caso $\lambda\neq0$ y $\lambda\neq6$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $\lambda = 0$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 1\end{array}\right)

La primera fila es el triple de la segunda, término independiente incluido (

F_{1} = 3F_{2}

), así que sobra. Y el menor

\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 1 \neq 0 \quad \text{(filas 2 y 3, columnas 1 y 2)}

da rango

2

en ambas matrices:

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

Caso $\lambda = 6$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 6 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 6 & 6 \\ 1 & 1 & 3 & 1\end{array}\right)

El menor

\;\begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = -6 \neq 0

\operatorname{rg}M = 2

. Pero orlándolo con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 3 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 6 \\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix} = 3\,(0-6)-6\,(1-6)+0 = -18+30 = 12 \neq 0

\operatorname{rg}M = 2 \neq 3 = \operatorname{rg}M^{*} \;\Longrightarrow\; \textbf{Sistema incompatible}

b) Resolución para $\lambda = 0$ . El sistema queda

\begin{cases} 3x = 0 \\ x = 0 \\ x+y+3z = 1\end{cases}

De las dos primeras (que dicen lo mismo):

\;x = 0

. Sustituyendo en la tercera:

y+3z = 1 \;\Longrightarrow\; y = 1-3z

Con

z = t

(x,\,y,\,z) = \bigl(0,\; 1-3t,\; t\bigr), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con

t = 0

(0,1,0)

;

\;0+0 = 0

\checkmark

;

\;0+0 = 0

\checkmark

;

\;0+1+0 = 1

\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Al desarrollar el determinante, aprovecha los ceros de la matriz: la primera fila tiene uno y el cálculo se reduce a dos menores.

En cada valor crítico hay que mirar la ampliada: con $\lambda=0$ las filas son proporcionales incluso en el término independiente (compatible) y con $\lambda=6$ no (incompatible). Es exactamente la diferencia entre los dos casos.

Para el rango de $M$ , elige un menor cómodo: no tiene por qué estar en las dos primeras filas. Aquí el de las filas $2$ y $3$ es el más limpio.