Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2015 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

Opción B · Ejercicio 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones

\begin{cases} 2x+y+(\alpha-1)z = \alpha-1 \\ \phantom{2}x-\alpha y-3z = 1 \\ \phantom{2}x+y+2z = 2\alpha-2\end{cases}

a) [1 punto] Resuelve el sistema para

\alpha = 1

.

b) [1,5 puntos] Determina, si existe, el valor de

\alpha

para el que

(x,y,z) = (1,-3,\alpha)

es la única solución del sistema dado.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = \alpha^{2}-4\alpha = \alpha(\alpha-4)\;}

\boxed{\;\text{a) } \alpha=1: \ \det M = -3 \neq 0, \quad (x,y,z) = \left(\tfrac23,\, -\tfrac43,\, \tfrac13\right)\;}

\boxed{\;\text{b) } (1,-3,\alpha) \text{ es solución} \iff \alpha^{2}-2\alpha = 0 \iff \alpha = 0 \text{ o } \alpha = 2\;}

\boxed{\;\text{Única solo si } \det M \neq 0: \quad \alpha = 2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

a) Sustituir $\alpha=1$ , comprobar que el determinante no se anula (solución única) y resolver.
b) Aquí no hay que resolver el sistema: se sustituye la terna propuesta en las tres ecuaciones y se ve para qué $\alpha$ se cumplen todas.

Pero cuidado: el enunciado dice "la única solución". Además de que la terna sea solución, hay que exigir que el sistema sea compatible determinado, es decir,

\det M \neq 0

. Ese matiz es el que decide entre los candidatos.

Desarrollo

La matriz de coeficientes.

M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & \alpha-1 \\ 1 & -\alpha & -3 \\ 1 & 1 & 2\end{pmatrix}

\det M = 2\bigl(-2\alpha+3\bigr)-1\bigl(2+3\bigr)+(\alpha-1)(1+\alpha) = -4\alpha+6-5+\alpha^{2}-1 = \alpha^{2}-4\alpha

\det M = \alpha\,(\alpha-4) = 0 \;\Longleftrightarrow\; \alpha = 0 \ \text{ o } \ \alpha = 4

a) El caso $\alpha = 1$ . El sistema queda

\begin{cases} 2x+y = 0 \\ x-y-3z = 1 \\ x+y+2z = 0\end{cases}

\det M = 1\cdot(1-4) = -3 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{solución única}

De la primera,

y = -2x

. Sustituyendo en la tercera:

x-2x+2z = 0 \;\Longrightarrow\; -x+2z = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2z

Y en la segunda, con

y = -2x = -4z

x = 2z

2z-(-4z)-3z = 3z = 1 \;\Longrightarrow\; z = \frac13

x = \frac23, \qquad y = -\frac43, \qquad z = \frac13

Comprobación.

\;\frac43-\frac43 = 0\;\checkmark

;

\;\frac23+\frac43-1 = 1\;\checkmark

;

\;\frac23-\frac43+\frac23 = 0\;\checkmark

b) Imponiendo que $(1,-3,\alpha)$ sea solución. Sustituimos en cada ecuación:

Primera:

2(1)+(-3)+(\alpha-1)\alpha = \alpha-1 \;\Longrightarrow\; -1+\alpha^{2}-\alpha = \alpha-1 \;\Longrightarrow\; \alpha^{2}-2\alpha = 0

\alpha\,(\alpha-2) = 0 \;\Longrightarrow\; \alpha = 0 \quad \text{o} \quad \alpha = 2

Segunda:

1-\alpha(-3)-3\alpha = 1+3\alpha-3\alpha = 1 \quad \checkmark \ \text{(para todo } \alpha)

Tercera:

1+(-3)+2\alpha = 2\alpha-2 \quad \checkmark \ \text{(para todo } \alpha)

Así que la terna es solución para

\alpha = 0

y para

\alpha = 2

. Falta la condición de unicidad:

\alpha = 0: \quad \det M = 0 \;\Longrightarrow\; \text{no es solución única (hay infinitas)}

\alpha = 2: \quad \det M = 4-8 = -4 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \textbf{solución única} \ \checkmark

\alpha = 2, \qquad (x,y,z) = (1,\, -3,\, 2)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) no resuelvas el sistema: sustituye la terna y busca qué $\alpha$ la hace válida. Es muchísimo más rápido, y las ecuaciones segunda y tercera se cumplen solas, lo cual ya es una pista de que el planteamiento es el correcto.

La palabra "única" no es adorno: obliga a comprobar $\det M\neq0$ . Con $\alpha=0$ la terna sí es solución, pero hay infinitas más, así que no vale como respuesta.

Fíjate en que $\alpha$ aparece también en los términos independientes. Al sustituir hay que hacerlo en los dos miembros de cada ecuación, no solo en los coeficientes.