Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2023 · Julio

Enunciado

Ejercicio 6 (bloque B). El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por un importe de

500

euros sin incluir impuestos. El gasto en vino es

60

euros menos que los gastos en refrescos y cerveza conjuntamente, sin incluir impuestos. Teniendo en cuenta que los impuestos de los refrescos, la cerveza y el vino son el

6\,\%

, el

12\,\%

y el

30\,\%

, respectivamente, entonces el importe total de la factura incluyendo impuestos ha ascendido a

592{,}4

euros. Calcula el importe, incluyendo impuestos, invertido en cada una de las bebidas.

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Resultado

\boxed{\;\text{Sin impuestos: refrescos } 120, \quad \text{cerveza } 160, \quad \text{vino } 220 \text{ euros}\;}

\boxed{\;\text{Con impuestos: refrescos } 127{,}2, \quad \text{cerveza } 179{,}2, \quad \text{vino } 286 \text{ euros}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Sistema

3\times 3

clásico de planteamiento. Hay dos detalles que deciden la nota:

Las incógnitas naturales son los importes sin impuestos; sobre ellas se escriben las tres ecuaciones. Pero la pregunta final pide los importes con impuestos, así que hay un último paso de conversión que es fácil olvidar.
Un impuesto del $6\,\%$ significa pagar el $106\,\%$ : el coeficiente es $1{,}06$ , no $0{,}06$ .

Desarrollo

Incógnitas.

x

= gasto en refrescos,

y

= gasto en cerveza,

z

= gasto en vino, sin impuestos (en euros).

Ecuaciones.

\begin{cases} x + y + z = 500 & \text{(importe total sin impuestos)} \\ z = x + y - 60 & \text{(el vino, 60 menos que los otros dos juntos)} \\ 1{,}06x + 1{,}12y + 1{,}30z = 592{,}4 & \text{(factura con impuestos)} \end{cases}

Reordenando la segunda como

x + y - z = 60

\begin{cases} x + \phantom{1{,}12}y + \phantom{1{,}30}z = 500 \\ x + \phantom{1{,}12}y - \phantom{1{,}30}z = 60 \\ 1{,}06x + 1{,}12y + 1{,}30z = 592{,}4 \end{cases}

Resolución. Restando las dos primeras ecuaciones se elimina todo salvo

z

(x+y+z) - (x+y-z) = 500 - 60 \;\Longrightarrow\; 2z = 440 \;\Longrightarrow\; z = 220

Y de la primera,

x + y = 500 - 220 = 280

.

Llevando

z = 220

a la tercera ecuación:

1{,}06x + 1{,}12y + 1{,}30\cdot 220 = 592{,}4 \;\Longrightarrow\; 1{,}06x + 1{,}12y = 592{,}4 - 286 = 306{,}4

Sustituyendo

y = 280 - x

1{,}06x + 1{,}12\,(280 - x) = 306{,}4 \;\Longrightarrow\; 1{,}06x + 313{,}6 - 1{,}12x = 306{,}4

-0{,}06x = -7{,}2 \;\Longrightarrow\; x = 120, \qquad y = 280 - 120 = 160

Importes sin impuestos: refrescos

120

, cerveza

160

, vino

220

euros.

Importes con impuestos (lo que pide el enunciado):

\text{Refrescos: } 1{,}06 \cdot 120 = 127{,}2 \qquad \text{Cerveza: } 1{,}12\cdot 160 = 179{,}2 \qquad \text{Vino: } 1{,}30\cdot 220 = 286

Comprobación.

120 + 160 + 220 = 500

;

\;220 = 280 - 60

;

\;127{,}2 + 179{,}2 + 286 = 592{,}4

. Todo cuadra.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Lee la última frase con lupa: piden el importe incluyendo impuestos. Si te quedas en $(120, 160, 220)$ tienes el sistema perfectamente resuelto y la pregunta sin contestar. Un renglón más y son puntos regalados.

El otro error clásico es el coeficiente del impuesto. "Impuesto del $6\,\%$ " quiere decir que pagas $1{,}06$ veces el precio base. Si escribes la tercera ecuación como $0{,}06x + 0{,}12y + 0{,}30z = 592{,}4$ estás diciendo que solo los impuestos suman $592{,}4$ euros sobre una compra de $500$ : absurdo, y el sistema deja de tener sentido.