Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Andalucía · 2012 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

Opción A · Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones

\left.\begin{array}{rcl} \phantom{k}x+(k+1)y+2z & = & -1 \\ k x+\phantom{(k+1)}y+\phantom{2}z & = & \phantom{-}2 \\ \phantom{k}x-\phantom{(k+1)}2y-\phantom{2}z & = & k+1\end{array}\right\}

a) [1,75 puntos] Clasifícalo según los distintos valores de

k

.

b) [0,75 puntos] Resuélvelo para el caso

k = 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\det M = k^{2}-2k = k\,(k-2)\;}

\boxed{\;\text{a) } k\neq0,2: \text{ S.C.D.}; \quad k = 0: \text{ S.I.}; \quad k = 2: \text{ S.C.I.}\;}

\boxed{\;\text{b) } k=2: \ (x,y,z) = \left(\frac{7-t}{5},\; \frac{-4-3t}{5},\; t\right)\;}

\boxed{\;\text{p. ej. con } t = 2: \quad (1,\, -2,\, 2)\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Discusión por Rouché-Frobenius. El determinante da dos valores críticos con comportamientos opuestos.

Como siempre, hay que sustituir el parámetro también en el término independiente (

k+1

en la tercera ecuación).

En b),

k=2

resulta ser el caso indeterminado, así que la respuesta lleva un parámetro.

Desarrollo

Las matrices.

M = \begin{pmatrix} 1 & k+1 & 2 \\ k & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -1\end{pmatrix} \qquad b = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ k+1\end{pmatrix}

El determinante.

\det M = 1\,(-1+2)-(k+1)(-k-1)+2\,(-2k-1)

= 1+(k+1)^{2}-4k-2 = 1+k^{2}+2k+1-4k-2 = k^{2}-2k

\det M = k\,(k-2) = 0 \;\Longleftrightarrow\; k = 0 \quad \text{o} \quad k = 2

a) Clasificación.

Caso $k\neq0$ y $k\neq2$ :

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible determinado}

Caso $k = 0$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 1\end{array}\right)

\operatorname{rg}M = 2

(menor

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1\neq0

). Orlando con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 1\end{vmatrix} = 1(1+4)-1(0-2)-1(0-1) = 5+2+1 = 8 \neq 0

\operatorname{rg}M = 2 < \operatorname{rg}M^{*} = 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Incompatible}

Caso $k = 2$ :

M^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 & 3\end{array}\right)

Orlando el menor

\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -5\neq0

con la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 3\end{vmatrix} = 1(3+4)-3(6-2)-1(-4-1) = 7-12+5 = 0

\operatorname{rg}M = \operatorname{rg}M^{*} = 2 < 3 \;\Longrightarrow\; \textbf{Compatible indeterminado}

b) Resolución para $k = 2$ . Con las dos primeras ecuaciones y

z = t

\begin{cases} \phantom{2}x+3y = -1-2t \\ 2x+\phantom{3}y = \phantom{-}2-\phantom{2}t\end{cases}

Multiplicando la segunda por

3

y restando la primera:

5x = 6-3t-(-1-2t) = 7-t \;\Longrightarrow\; x = \frac{7-t}{5}

Y de la segunda:

y = 2-t-2x = 2-t-\frac{2\,(7-t)}{5} = \frac{10-5t-14+2t}{5} = \frac{-4-3t}{5}

(x,\,y,\,z) = \left(\frac{7-t}{5},\; \frac{-4-3t}{5},\; t\right), \qquad t\in\mathbb{R}

Comprobación con $t=2$ : $(1,-2,2)$ .

\;1-6+4 = -1\;\checkmark

;

\;2-2+2 = 2\;\checkmark

;

\;1+4-2 = 3 = k+1\;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El parámetro aparece también en el término independiente. Al sustituir $k=0$ o $k=2$ , hazlo en toda la matriz ampliada; olvidarlo cambia la clasificación.

Los dos valores críticos dan resultados opuestos: $k=0$ incompatible y $k=2$ indeterminado. La forma segura de distinguirlos es orlar un menor de orden $2$ no nulo con la columna de términos independientes.

Comprueba la solución en las tres ecuaciones, aunque hayas usado solo dos. Elegir un valor de $t$ que dé enteros (aquí $t=2$ ) hace la comprobación inmediata.