Matemáticas IIMedioProblema · 2,5 pts

Matrices

Andalucía · 2020 · Reserva 3

Enunciado

Ejercicio 7. Considera

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ m & 2 & -3 \\ m-1 & 0 & 4\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}

a) [1 punto] Determina los valores de

m

para los que la ecuación

A\,X + B = C

tiene solución única.

b) [1,5 puntos] Para

m = 0

, halla

X

tal que

A\,X + B = C

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\text{a)}\quad |A| = -2m^{2} + 9m + 5 = -(m-5)(2m+1); \qquad \text{única } \Longleftrightarrow m \neq 5,\; m \neq -\tfrac12\;}

\boxed{\;\text{b)}\quad A\,X = C - B = (-2, 2, -2)^{t} \;\Longrightarrow\; X = \left(-\tfrac{14}{5},\; -\tfrac{4}{5},\; -\tfrac{6}{5}\right)^{t}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La ecuación

AX + B = C

es en realidad el sistema

A\,X = C - B

. Hay solución única exactamente cuando

A

es invertible, es decir, cuando

|A| \neq 0

: todo el apartado a) se reduce a calcular ese determinante y ver cuándo se anula.

En b), con

m=0

el determinante no es nulo (lo confirma a\)), así que se puede resolver por Gauss o por Cramer. Aquí la matriz tiene bastantes ceros y la sustitución escalonada es más rápida que calcular la inversa.

Desarrollo

El término independiente.

A\,X = C - B = \begin{pmatrix} 3 - 5 \\ 1 - (-1) \\ 0 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ \phantom{-}2 \\ -2\end{pmatrix}

a) Determinante de $A$ . Desarrollando por la tercera fila (tiene un cero en el centro):

|A| = (m-1)\cdot\left|\begin{array}{cc} -1 & m \\ 2 & -3\end{array}\right| - 0 + 4\cdot\left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ m & 2\end{array}\right|

= (m-1)\,(3 - 2m) + 4\,(2 + m)

= 3m - 2m^{2} - 3 + 2m + 8 + 4m = -2m^{2} + 9m + 5

Raíces.

-2m^{2} + 9m + 5 = 0 \;\Longleftrightarrow\; 2m^{2} - 9m - 5 = 0

m = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 40}}{4} = \frac{9 \pm 11}{4} \;\Longrightarrow\; m = 5 \quad \text{o} \quad m = -\frac{1}{2}

Es decir,

|A| = -(m-5)(2m+1)

, y

\text{Solución única } \Longleftrightarrow |A|\neq 0 \Longleftrightarrow m \neq 5 \;\text{ y }\; m \neq -\frac{1}{2}

b) Caso $m = 0$ .

A = \begin{pmatrix} \phantom{-}1 & -1 & 0 \\ \phantom{-}0 & \phantom{-}2 & -3 \\ -1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}4\end{pmatrix}, \qquad |A| = 5 \neq 0

El sistema

A\,X = (-2, 2, -2)^{t}

\begin{cases} \phantom{-}x - y \phantom{{}+ 4z} = -2 \\ \phantom{-x{}}\; 2y - 3z = \phantom{-}2 \\ -x \phantom{{}- y}\; + 4z = -2\end{cases}

De la primera,

x = y - 2

. Sustituyendo en la tercera:

-(y - 2) + 4z = -2 \;\Longrightarrow\; -y + 4z = -4 \;\Longrightarrow\; y = 4z + 4

Y llevándolo a la segunda:

2\,(4z + 4) - 3z = 2 \;\Longrightarrow\; 8z + 8 - 3z = 2 \;\Longrightarrow\; 5z = -6 \;\Longrightarrow\; z = -\frac{6}{5}

y = 4\left(-\frac{6}{5}\right) + 4 = -\frac{24}{5} + \frac{20}{5} = -\frac{4}{5}

x = y - 2 = -\frac{4}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{14}{5}

X = \begin{pmatrix} -14/5 \\ -4/5 \\ -6/5\end{pmatrix} = -\frac{1}{5}\begin{pmatrix} 14 \\ 4 \\ 6\end{pmatrix}

Comprobación.

x - y = -\frac{14}{5} + \frac{4}{5} = -2 \;\checkmark \qquad 2y - 3z = -\frac{8}{5} + \frac{18}{5} = 2 \;\checkmark

-x + 4z = \frac{14}{5} - \frac{24}{5} = -2 \;\checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de nada, pasa la $B$ al otro lado: la ecuación es $AX = C - B$ , no $AX = C$ . Es un despiste tonto que estropea el apartado b) entero aunque el a) esté perfecto.

"Solución única" en una ecuación matricial de este tipo es sinónimo de " $A$ invertible": no hace falta discutir rangos ni hablar de Rouché. Basta con $|A| \neq 0$ .

En b) no calcules $A^{-1}$ si no hace falta. Con tres ceros bien colocados, la sustitución escalonada da el resultado en cuatro líneas; la inversa de una $3\times 3$ exige nueve adjuntos y multiplica las ocasiones de equivocarse.